🔺Ισόπλευρα τρίγωνα γύρω από ένα πολύγωνο — Πόσο είναι το άθροισμα των κόκκινων γωνιών;

🔺Ισόπλευρα τρίγωνα γύρω από ένα πολύγωνο

Έχουμε ένα ακανόνιστο κυρτό πολύγωνο με \(N\) πλευρές.

Σε καθεμία από τις πλευρές του κατασκευάζουμε, εξωτερικά του πολυγώνου, ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Ανάμεσα σε δύο διαδοχικά ισόπλευρα τρίγωνα σχηματίζεται σε κάθε κορυφή μία γωνία, η οποία στο σχήμα σημειώνεται με κόκκινο.

🤔 Η πρόκληση

Ποιο είναι το άθροισμα των \(N\) κόκκινων γωνιών;

Βρείτε έναν τύπο που να εξαρτάται μόνο από το \(N\).

Το πολύγωνο δεν είναι κανονικό. Οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του μπορούν να είναι διαφορετικές.

🧠 Παρ' όλα αυτά, το ζητούμενο άθροισμα είναι πάντα το ίδιο για δεδομένο \(N\). Γιατί;

🔍 Εμφάνιση λύσης

1️⃣ Εξετάζουμε μία κορυφή

Ας ονομάσουμε \(\alpha_i\) την εσωτερική γωνία του κίτρινου πολυγώνου σε μία κορυφή και \(\theta_i\) την αντίστοιχη κόκκινη γωνία.

Στην ίδια κορυφή συναντώνται:

• η εσωτερική γωνία \(\alpha_i\) του πολυγώνου,
• μία γωνία \(60^\circ\) από το πρώτο ισόπλευρο τρίγωνο,
• μία γωνία \(60^\circ\) από το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο,
• και η κόκκινη γωνία \(\theta_i\).

Όλες μαζί σχηματίζουν μία πλήρη γωνία:

\[ \alpha_i+60^\circ+60^\circ+\theta_i=360^\circ. \]

Άρα:

\[ \boxed{\theta_i=240^\circ-\alpha_i}. \]

2️⃣ Προσθέτουμε όλες τις κόκκινες γωνίες

Για τις \(N\) κορυφές έχουμε:

\[ \theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_N = 240^\circ N- (\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_N). \]

Γνωρίζουμε όμως ότι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών οποιουδήποτε κυρτού \(N\)-γώνου είναι

\[ \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_N = (N-2)\cdot180^\circ. \]

Επομένως:

\[ \sum_{i=1}^{N}\theta_i = 240^\circ N-180^\circ(N-2). \]

Απλοποιώντας:

\[ \sum_{i=1}^{N}\theta_i = 240^\circ N-180^\circ N+360^\circ \] \[ = 60^\circ N+360^\circ. \]

🎯 Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι \[ \boxed{ \theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_N = 60^\circ(N+6) } \]

✨ Το παράξενο της απάντησης

Το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το σχήμα του πολυγώνου.

Μπορούμε να μετακινήσουμε τις κορυφές, να αλλάξουμε τα μήκη των πλευρών και να μεταβάλουμε όλες τις εσωτερικές γωνίες, αρκεί το πολύγωνο να παραμένει κυρτό.

Οι κόκκινες γωνίες θα αλλάξουν ξεχωριστά, αλλά το άθροισμά τους θα παραμένει:

\[ \boxed{60^\circ(N+6)}. \]

💡 Γιατί συμβαίνει αυτό;

Κάθε μεταβολή μιας εσωτερικής γωνίας \(\alpha_i\) αντισταθμίζεται από την αντίστοιχη μεταβολή της κόκκινης γωνίας \(\theta_i\). Και επειδή το συνολικό άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός \(N\)-γώνου είναι πάντοτε \((N-2)180^\circ\), το συνολικό άθροισμα των κόκκινων γωνιών παραμένει σταθερό.

🔎 Μερικά παραδείγματα

\(N\)	Άθροισμα κόκκινων γωνιών
3	\(540^\circ\)
4	\(600^\circ\)
5	\(660^\circ\)
6	\(720^\circ\)
\(N\)	\(\mathbf{60^\circ(N+6)}\)

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →