🧮 Ένα Ολοκλήρωμα που Λύνεται Χωρίς Υπολογισμούς

Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος

\[ \int_{-4\pi\sqrt{2}}^{4\pi\sqrt{2}} \left(\frac{\sin x}{1+x^4}+1\right)\,dx. \]

💡 Εμφάνιση λύσης

Παρατηρούμε ότι

\[ f(x)=\frac{\sin x}{1+x^4} \]

είναι περιττή συνάρτηση, αφού ο αριθμητής \(\sin x\) είναι περιττός, ενώ ο παρονομαστής \(1+x^4\) είναι άρτιος.

Επομένως, στα συμμετρικά όρια:

\[ \int_{-4\pi\sqrt2}^{4\pi\sqrt2} \frac{\sin x}{1+x^4}\,dx=0. \]

Απομένει μόνο:

\[ \int_{-4\pi\sqrt2}^{4\pi\sqrt2}1\,dx =8\pi\sqrt2. \]

\[ \boxed{8\pi\sqrt2} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →