🌸 Το Λουλούδι του Πλέγματος - Ελλείψεις και Υπερβολές σε Ορθή Γωνία

🌸 Το Λουλούδι των Συνεστιακών Καμπυλών

Δύο σταθερά σημεία του επιπέδου μπορούν να γίνουν οι κοινές εστίες μιας ολόκληρης οικογένειας από ελλείψεις και υπερβολές.

Το αποτέλεσμα δεν είναι μόνο εντυπωσιακό οπτικά. Κρύβει και μια πανέμορφη γεωμετρική ιδιότητα:

Κάθε συνεστιακή έλλειψη τέμνει κάθε συνεστιακή υπερβολή που συναντά σε ορθή γωνία.

📐 Μία οικογένεια, δύο είδη καμπυλών

Τοποθετούμε τις δύο κοινές εστίες στα σημεία

\[ F_1=(-c,0), \qquad F_2=(c,0). \]

Μια ιδιαίτερα κομψή περιγραφή ολόκληρης της οικογένειας είναι

\[ \boxed{ \frac{x^2}{\lambda} + \frac{y^2}{\lambda-c^2} =1 } \]

ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου \(\lambda\).

Όταν

\[ \lambda>c^2, \]

και οι δύο παρονομαστές είναι θετικοί και παίρνουμε μια έλλειψη.

Όταν αντίθετα

\[ 0<\lambda

ο δεύτερος παρονομαστής είναι αρνητικός και παίρνουμε μια υπερβολή.

Σε όλες αυτές τις καμπύλες οι εστίες παραμένουν οι ίδιες:

\[ (-c,0),\qquad(c,0). \]

Διαφορετικές ελλείψεις της οικογένειας δεν τέμνονται μεταξύ τους, ούτε διαφορετικές υπερβολές. Οι δύο οικογένειες όμως τέμνονται μεταξύ τους και σχηματίζουν ένα ορθογώνιο δίκτυο.

✅ Γιατί τέμνονται κάθετα;

Ας πάρουμε ένα σημείο \(P(x,y)\) στο οποίο συναντώνται μία έλλειψη και μία υπερβολή της οικογένειας.

Στο συγκεκριμένο σημείο, οι δύο αντίστοιχες τιμές της παραμέτρου, έστω \(\lambda_1\) και \(\lambda_2\), ικανοποιούν την εξίσωση

\[ \frac{x^2}{\lambda} + \frac{y^2}{\lambda-c^2} =1. \]

Πολλαπλασιάζοντας με \(\lambda(\lambda-c^2)\) και αναδιατάσσοντας, παίρνουμε

\[ \lambda^2 - (x^2+y^2+c^2)\lambda + c^2x^2 =0. \]

Οι \(\lambda_1,\lambda_2\) είναι οι δύο ρίζες αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Επομένως, από τους τύπους του Viète,

\[ \boxed{ \lambda_1\lambda_2=c^2x^2 }. \]

Επίσης,

\[ \lambda_1+\lambda_2=x^2+y^2+c^2. \]

Από την τελευταία σχέση προκύπτει

\[ (\lambda_1-c^2)(\lambda_2-c^2) = -c^2y^2. \]

Τώρα διαφορίζουμε ως προς \(x\) την εξίσωση της οικογένειας:

\[ \frac{2x}{\lambda} + \frac{2y}{\lambda-c^2}\frac{dy}{dx} =0. \]

Άρα η κλίση της εφαπτομένης είναι

\[ m= \frac{dy}{dx} = -\frac{x(\lambda-c^2)}{y\lambda}. \]

Για τις δύο καμπύλες που περνούν από το \(P\), οι κλίσεις τους είναι επομένως

\[ m_1= -\frac{x(\lambda_1-c^2)}{y\lambda_1}, \qquad m_2= -\frac{x(\lambda_2-c^2)}{y\lambda_2}. \]

Πολλασιάζοντας,

\[ m_1m_2 = \frac{x^2(\lambda_1-c^2)(\lambda_2-c^2)} {y^2\lambda_1\lambda_2}. \]

Χρησιμοποιώντας τις δύο σχέσεις που βρήκαμε προηγουμένως,

\[ m_1m_2 = \frac{x^2(-c^2y^2)} {y^2(c^2x^2)} = \boxed{-1}. \]

Εφόσον \[ m_1m_2=-1, \] οι δύο εφαπτόμενες είναι κάθετες.

Άρα η έλλειψη και η υπερβολή τέμνονται σε ορθή γωνία.

🌸 Ένα φυσικό σύστημα συντεταγμένων

Η ιδιότητα αυτή δεν είναι απλώς μια γεωμετρική περιέργεια. Οι συνεστιακές ελλείψεις και υπερβολές αποτελούν τις γραμμές συντεταγμένων ενός ορθογώνιου καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων, των λεγόμενων ελλειπτικών συντεταγμένων.

Αντί λοιπόν για το συνηθισμένο καρτεσιανό πλέγμα από οριζόντιες και κατακόρυφες ευθείες, έχουμε ένα «πλέγμα» από καμπύλες.

Και όπως οι γραμμές \(x=\text{σταθερό}\) και \(y=\text{σταθερό}\) τέμνονται κάθετα στο καρτεσιανό επίπεδο, έτσι και εδώ οι δύο οικογένειες καμπυλών συναντώνται πάντοτε υπό γωνία

\[ \boxed{90^\circ}. \]

Δύο εστίες, άπειρες ελλείψεις, άπειρες υπερβολές — και σε κάθε συνάντησή τους μια ορθή γωνία.

Αναφορά: Encyclopedia of Mathematics – Confocal conics

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →