📐 Μια απλή οπτική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ίσως η γνωστότερη πρόταση της Γεωμετρίας. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, αν (x) και (y) είναι τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και (r) το μήκος της υποτείνουσας, τότε

\[x^2+y^2=r^2\]

Η σχέση είναι γνωστή. Εκείνο που αξίζει να δούμε είναι γιατί ισχύει. Η ακόλουθη απόδειξη δεν χρειάζεται παρά μόνο τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου και ενός τριγώνου.

Η κατασκευή

Παίρνουμε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές (x) και (y) και υποτείνουσα (r). Τα τοποθετούμε έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα μεγάλο τετράγωνο. Στο κέντρο απομένει ένα μικρότερο, περιστραμμένο τετράγωνο, του οποίου κάθε πλευρά είναι η υποτείνουσα (r).

Κάθε πλευρά του εξωτερικού τετραγώνου αποτελείται από ένα τμήμα μήκους (x) και ένα τμήμα μήκους (y). Επομένως, το μήκος της είναι

\[x+y\]

Άρα το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου είναι

\[(x+y)^2.\]

Το ίδιο εμβαδόν με δύο τρόπους

Το μεγάλο τετράγωνο αποτελείται από το εσωτερικό τετράγωνο και τα τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα.

Το εσωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά (r), άρα εμβαδόν (r^2). Κάθε τρίγωνο έχει εμβαδόν

\[\frac{xy}{2}.\]

Εφόσον υπάρχουν τέσσερα τέτοια τρίγωνα, παίρνουμε

\[(x+y)^2=r^2+4\cdot\frac{xy}{2}.\]

Αναπτύσσουμε το τετράγωνο στο αριστερό μέλος και απλοποιούμε:

\[ \begin{aligned} x^2+2xy+y^2 &= r^2+2xy,\\ x^2+y^2 &= r^2. \end{aligned} \]

Οι όροι (2xy) εμφανίζονται και στα δύο μέλη και αφαιρούνται. Αυτό που απομένει είναι ακριβώς το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Η βασική ιδέα: Δεν υπολογίσαμε κάτι καινούργιο· μετρήσαμε το ίδιο εμβαδόν με δύο διαφορετικούς τρόπους. Η ισότητα των δύο υπολογισμών αναγκάζει τη σχέση (x^2+y^2=r^2) να ισχύει.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →