📐 Το Θεώρημα του Απολλώνιου – Μια Όμορφη Σχέση στο Τρίγωνο

📐 Το Θεώρημα του Απολλώνιου

Μια διάμεσος ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο ίσα τμήματα. Το Θεώρημα του Απολλώνιου αποκαλύπτει μια όμορφη σχέση ανάμεσα στη διάμεσο και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.

Έστω τρίγωνο \(ABC\) και \(M\) το μέσο της πλευράς \(BC\). Τότε το \(AM\) είναι διάμεσος και

\[ BM=MC=\frac{BC}{2}. \]

Το Θεώρημα του Απολλώνιου δηλώνει ότι

\[ \boxed{ AB^2+AC^2 = 2AM^2+\frac{BC^2}{2} } \]

Ισοδύναμα, επειδή \(BM=MC\), μπορούμε να το γράψουμε

\[ \boxed{ AB^2+AC^2 = 2\left(AM^2+BM^2\right) }. \]

Μια σύντομη απόδειξη

Θέτουμε

\[ BM=MC=m \]

και φέρνουμε το ύψος \(AH=h\). Αν \(HM=x\), τότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα κατάλληλα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε

\[ AB^2=h^2+(m+x)^2, \]

\[ AC^2=h^2+(m-x)^2, \]

ενώ

\[ AM^2=h^2+x^2. \]

Προσθέτοντας τις δύο πρώτες σχέσεις παίρνουμε

\[ AB^2+AC^2 = 2h^2+2m^2+2x^2 = 2(AM^2+BM^2), \]

που είναι ακριβώς το Θεώρημα του Απολλώνιου.

🔎 Και το Πυθαγόρειο Θεώρημα;

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η διάμεσος φέρεται προς την υποτείνουσα \(BC\), τότε \(AM=BM=BC/2\). Η σχέση του Απολλώνιου γίνεται αμέσως

\[ AB^2+AC^2=BC^2. \]

Έτσι, το Θεώρημα του Απολλώνιου μπορεί να θεωρηθεί ως μια όμορφη γενίκευση της γνωστής πυθαγόρειας σχέσης σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →