🔺Δύο σφαίρες και ένα κανονικό τετράεδρο — Τρεις εντυπωσιακοί λόγοι

🔺 Δύο σφαίρες και ένα κανονικό τετράεδρο

Έχουμε ένα κανονικό τετράεδρο με μια όμορφη διπλή εγγραφή:

μια μικρή σφαίρα είναι εγγεγραμμένη στο τετράεδρο, ενώ το ίδιο το τετράεδρο είναι εγγεγραμμένο σε μια μεγαλύτερη σφαίρα.

Αν \(R\) είναι η ακτίνα της μεγάλης περιγεγραμμένης σφαίρας και \(r\) η ακτίνα της μικρής εγγεγραμμένης σφαίρας, τι σχέση υπάρχει ανάμεσά τους;

🧠 Τρεις ερωτήσεις

① Ποιος είναι ο λόγος των ακτίνων;

\[ \frac{R}{r}=\,? \]

② Αν \(A\) και \(a\) είναι τα εμβαδά των επιφανειών της μεγάλης και της μικρής σφαίρας αντίστοιχα, ποιος είναι ο λόγος

\[ \frac{A}{a}=\,? \]

③ Αν \(V\) και \(v\) είναι οι αντίστοιχοι όγκοι, ποιος είναι ο λόγος

\[ \frac{V}{v}=\,? \]

Το ωραίο είναι ότι, μόλις απαντηθεί σωστά η πρώτη ερώτηση, οι άλλες δύο ακολουθούν σχεδόν αμέσως.

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Αν \(s\) είναι η ακμή ενός κανονικού τετραέδρου, η ακτίνα \(R\) της περιγεγραμμένης σφαίρας και η ακτίνα \(r\) της εγγεγραμμένης σφαίρας μπορούν να εκφραστούν και οι δύο συναρτήσει του \(s\).

Εναλλακτικά, χρησιμοποιήστε το κοινό κέντρο των δύο σφαιρών και παρατηρήστε τη γεωμετρία πάνω σε ένα κατάλληλο ύψος του τετραέδρου.

Αφού βρείτε το

\[ \frac{R}{r}, \]

θυμηθείτε ότι το εμβαδόν μιας σφαίρας είναι ανάλογο του τετραγώνου της ακτίνας της:

\[ S=4\pi\rho^2, \]

ενώ ο όγκος της είναι ανάλογος του κύβου:

\[ V=\frac43\pi\rho^3. \]

Άρα οι τρεις ζητούμενοι λόγοι συνδέονται πολύ απλά μεταξύ τους. Μπορείτε να τους βρείτε χωρίς να υπολογίσετε ξεχωριστά κανένα εμβαδόν ή όγκο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →