📐 Δύο Κώνοι και μία Σφαίρα: Πρόβλημα Μεγιστοποίησης και Ελαχιστοποίησης με Παραγώγους

«Καθηγητά, ποτέ δεν φανταζόμουν τι θα μπορούσαμε να πετύχουμε με τις παραγώγους...»

Η πρόκληση αυτής της εβδομάδας συνδυάζει δύο προβλήματα βελτιστοποίησης σε ένα: ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης και ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης.

Θεωρούμε μία σφαίρα ακτίνας

\[ R=1\text{ m}. \]

Όλοι οι κώνοι που εξετάζουμε είναι ορθοί κυκλικοί κώνοι.

🟢 Πρόβλημα 1 — Ο μεγαλύτερος εγγεγραμμένος κώνος

Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθού κυκλικού κώνου με τον μεγαλύτερο δυνατό όγκο που μπορεί να εγγραφεί στη σφαίρα ακτίνας \(1\) m. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τον μέγιστο όγκο του.

🔴 Πρόβλημα 2 — Ο μικρότερος περιγεγραμμένος κώνος

Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθού κυκλικού κώνου με τον μικρότερο δυνατό όγκο που μπορεί να περιγραφεί γύρω από την ίδια σφαίρα. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τον ελάχιστο όγκο του.

Για κάθε κώνο πρέπει επομένως να προσδιορίσετε:

\[ \boxed{\text{ακτίνα βάσης }r,\qquad \text{ύψος }h,\qquad \text{όγκο }V} \]

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Και στα δύο προβλήματα ξεκινήστε από τον γνωστό τύπο του όγκου ενός κώνου:

\[ V=\frac13\pi r^2h. \]

Το δύσκολο σημείο δεν είναι ο τύπος του όγκου αλλά η γεωμετρική σχέση μεταξύ \(r\) και \(h\).

Για τον εγγεγραμμένο κώνο, εξετάστε μια κατακόρυφη τομή που περνά από τον άξονά του. Η σφαίρα γίνεται κύκλος ακτίνας \(1\) και ο κώνος ισοσκελές τρίγωνο εγγεγραμμένο σε αυτόν.

Για τον περιγεγραμμένο κώνο, η ίδια τομή μετατρέπει τη σφαίρα σε εγγεγραμμένο κύκλο ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Εκφράστε έτσι τον όγκο ως συνάρτηση μίας μόνο μεταβλητής και αναζητήστε το ακρότατο με παράγωγο:

\[ V'(x)=0. \]

Προσέξτε: στο πρώτο πρόβλημα αναζητούμε μέγιστο, ενώ στο δεύτερο ελάχιστο.

🧠 Η πρόκληση

Μπορείτε να βρείτε τις διαστάσεις και τους δύο ακραίους όγκους χωρίς να δείτε τη λύση;

Δύο κώνοι, μία σφαίρα και δύο παράγωγοι που αποκαλύπτουν την καλύτερη δυνατή γεωμετρία.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →