🚆 Το Παράδοξο των Δύο Αριθμών στο Τρένο

Μοιράζεστε ένα διαμέρισμα τρένου με δύο αγνώστους, τον \(A\) και τον \(B\). Εσείς και ο \(A\) σκέφτεστε από έναν θετικό ακέραιο αριθμό και, χωρίς να ακούσει ο άλλος, τον ψιθυρίζετε στον \(B\).

Ο \(B\), που τώρα γνωρίζει και τους δύο αριθμούς, σηκώνεται για να κατέβει και σας λέει:

«Έχετε επιλέξει διαφορετικούς αριθμούς. Με βάση όσα γνωρίζει ο καθένας σας, κανένας από τους δύο δεν μπορεί να συμπεράνει ποιος έχει τον μεγαλύτερο αριθμό.»

Και φεύγει.

Εσείς και ο \(A\) κοιτάζεστε. Τότε αρχίζει μια παράξενη αλυσίδα συλλογισμών.

1. Ο \(A\) δεν μπορεί να έχει επιλέξει το \(1\).

Αν είχε επιλέξει το \(1\), αφού γνωρίζει ότι οι δύο αριθμοί είναι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι, θα ήξερε αμέσως ότι ο δικός σας αριθμός είναι μεγαλύτερος.

Αλλά ο \(B\) δήλωσε ότι κανένας δεν μπορεί να γνωρίζει ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος.

Άρα ο \(A\) δεν έχει το \(1\). Και, με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό, ούτε εσείς έχετε το \(1\).

Τώρα όμως και οι δύο γνωρίζετε ότι το \(1\) έχει αποκλειστεί.

Και τότε εμφανίζεται το επόμενο βήμα:

2. Μήπως μπορούμε τώρα να αποκλείσουμε και το \(2\);

Αφού κανένας δεν μπορεί να έχει το \(1\), αν κάποιος είχε το \(2\), θα γνώριζε ότι ο άλλος —που έχει διαφορετικό επιτρεπτό θετικό ακέραιο— πρέπει να έχει αριθμό μεγαλύτερο από \(2\).

Άρα φαίνεται ότι αποκλείεται και το \(2\).

Αλλά τότε μπορούμε να επαναλάβουμε ακριβώς το ίδιο επιχείρημα για το \(3\), μετά για το \(4\), μετά για το \(5\)...

\[ 1\;\longrightarrow\;2\;\longrightarrow\;3 \;\longrightarrow\;4\;\longrightarrow\cdots \]

και, αν συνεχίσουμε αρκετά,

\[ \cdots\longrightarrow156\longrightarrow157\longrightarrow158\longrightarrow\cdots \]

Υπάρχει όμως ένα μικρό πρόβλημα:

Ο αριθμός που έχετε πραγματικά επιλέξει είναι το \(157\).

Κι όμως, η ίδια φαινομενικά άψογη λογική φαίνεται να αποδεικνύει ότι ούτε το \(157\) μπορεί να έχει επιλεγεί.

🤔 Πού ακριβώς σπάει η συλλογιστική;

Αν κάθε βήμα φαίνεται σωστό, γιατί δεν μπορούμε να αποκλείσουμε τελικά όλους τους θετικούς ακεραίους;

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →