Μοιράζεστε ένα διαμέρισμα τρένου με δύο αγνώστους, τον \(A\) και τον \(B\). Εσείς και ο \(A\) σκέφτεστε από έναν θετικό ακέραιο αριθμό και, χωρίς να ακούσει ο άλλος, τον ψιθυρίζετε στον \(B\).
Ο \(B\), που τώρα γνωρίζει και τους δύο αριθμούς, σηκώνεται για να κατέβει και σας λέει:
Και φεύγει.
Εσείς και ο \(A\) κοιτάζεστε. Τότε αρχίζει μια παράξενη αλυσίδα συλλογισμών.
1. Ο \(A\) δεν μπορεί να έχει επιλέξει το \(1\).
Αν είχε επιλέξει το \(1\), αφού γνωρίζει ότι οι δύο αριθμοί είναι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι, θα ήξερε αμέσως ότι ο δικός σας αριθμός είναι μεγαλύτερος.
Αλλά ο \(B\) δήλωσε ότι κανένας δεν μπορεί να γνωρίζει ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος.
Άρα ο \(A\) δεν έχει το \(1\). Και, με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό, ούτε εσείς έχετε το \(1\).
Τώρα όμως και οι δύο γνωρίζετε ότι το \(1\) έχει αποκλειστεί.
Και τότε εμφανίζεται το επόμενο βήμα:
2. Μήπως μπορούμε τώρα να αποκλείσουμε και το \(2\);
Αφού κανένας δεν μπορεί να έχει το \(1\), αν κάποιος είχε το \(2\), θα γνώριζε ότι ο άλλος —που έχει διαφορετικό επιτρεπτό θετικό ακέραιο— πρέπει να έχει αριθμό μεγαλύτερο από \(2\).
Άρα φαίνεται ότι αποκλείεται και το \(2\).
Αλλά τότε μπορούμε να επαναλάβουμε ακριβώς το ίδιο επιχείρημα για το \(3\), μετά για το \(4\), μετά για το \(5\)...
και, αν συνεχίσουμε αρκετά,
Υπάρχει όμως ένα μικρό πρόβλημα:
Κι όμως, η ίδια φαινομενικά άψογη λογική φαίνεται να αποδεικνύει ότι ούτε το \(157\) μπορεί να έχει επιλεγεί.
Αν κάθε βήμα φαίνεται σωστό, γιατί δεν μπορούμε να αποκλείσουμε τελικά όλους τους θετικούς ακεραίους;
1 σχόλιο:
Η ουσία είναι ακριβώς η αλυσίδα:
ΑπάντησηΔιαγραφή1, 2, 3, 4,⋯, n+1
και το παράδοξο ότι, αν δεχθούμε κάθε βήμα, θα καταλήξουμε να αποκλείσουμε ακόμη και το 157, παρότι υποτίθεται ότι αυτός είναι ο πραγματικός αριθμός.
Όμως υπάρχει ένα λεπτό σημείο στη συλλογιστική του άρθρου.
Nα μην αποδεχθούμε αμέσως ότι το βήμα από το n στο n+1 είναι ίδιο με το προηγούμενο.
Εδώ φαίνεται καθαρά πού ακριβώς βρίσκεται το λάθος.
Το άρθρο λέει:
Αν ο αριθμός κάποιου είναι 1, τότε, επειδή οι δύο αριθμοί είναι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι, θα ξέρει ότι ο άλλος έχει μεγαλύτερο αριθμό. Άρα αποκλείουμε το 1.
Μετά λέει:
Aφού αποκλείστηκε το 1, αν κάποιος έχει 2, θα ξέρει ότι ο άλλος δεν μπορεί να είναι 1, άρα πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 2. Επομένως αποκλείουμε και το 2.
Και συνεχίζει έτσι μέχρι το 157.
Το λάθος είναι στη φράση «με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό».
Ας το δούμε πολύ απλά.
Για το 1
Αν εγώ έχω 1, βλέπω ότι ο Α έχει κάποιον διαφορετικό θετικό ακέραιο.
Δεν υπάρχει μικρότερος θετικός ακέραιος από το 1.
Άρα ο Α οπωσδήποτε έχει μεγαλύτερο αριθμό.
Επομένως το 1 πράγματι αποκλείεται.
Για το 2
Τώρα υποθέτουμε ότι το 1 έχει αποκλειστεί.
Αν εγώ έχω 2, ξέρω ότι ο Α δεν έχει 1.
Άρα ο Α μπορεί να έχει:
3,4,5,…,n
οπότε πράγματι θα ξέρω ότι ο Α έχει μεγαλύτερο αριθμό.
Άρα αποκλείεται και το 2.
Για το 3
Εδώ όμως χρειάζεται μια επιπλέον σκέψη.
Αν εγώ έχω 3, ξέρω ότι:
• ο Α δεν έχει 1,
• ο Α δεν έχει 2.
Άρα ο Α πρέπει να έχει τουλάχιστον 4.
Επομένως αποκλείεται και το 3.
Και πράγματι, κάθε πεπερασμένος αριθμός n μπορεί να αποκλειστεί, αν έχουμε ήδη αποκλείσει όλους τους μικρότερους αριθμούς.
Άρα η αλυσίδα:
1, 2, 3, 4,⋯,
είναι λογικά σωστή σε κάθε πεπερασμένο βήμα.
Τότε πού είναι το παράδοξο;
Εδώ είναι το σημαντικό σημείο:
Το ότι
«για κάθε συγκεκριμένο n, μπορούμε να αποδείξουμε ότι το n αποκλείεται»
δεν σημαίνει ότι υπάρχει ένα συγκεκριμένο πεπερασμένο βήμα στο οποίο έχουν αποκλειστεί όλοι οι θετικοί ακέραιοι.
Για το 157, για παράδειγμα, χρειάζονται πρώτα τα:
1,2,3,…,156 βήματα
να αποκλειστούν και μετά μπορούμε να αποκλείσουμε το 157.
Αλλά το πραγματικό πρόβλημα είναι ότι η αρχική δήλωση του Β δεν μας δίνει το είδος της κοινής γνώσης που απαιτείται για να ξεκινήσει αυτή η επαγωγική αλυσίδα.
Και υπάρχει ακόμη ένα πιο ουσιαστικό σημείο, η πρόταση του Β είναι:
«κανένας από τους δύο δεν μπορεί να συμπεράνει ποιος έχει τον μεγαλύτερο αριθμό».
Αυτό είναι μια δήλωση για τη γνώση των δύο παικτών, όχι απλώς για τους δύο αριθμούς.
Επομένως, το παράδοξο του άρθρου είναι ουσιαστικά ένα παράδοξο αυτοαναφοράς/κοινής γνώσης: κάθε επιμέρους βήμα είναι σωστό, αλλά η μετάβαση από:
«το ξέρω» σε «ξέρω ότι το ξέρει και ο άλλος, ξέρω ότι ξέρει ότι το ξέρω...»
είναι το λεπτό σημείο.
Με μια φράση:
Δεν είναι λάθος η ακολουθία:
1,2,3,…,
Το πρόβλημα είναι η υπόθεση ότι η δήλωση του Β δημιουργεί αυτομάτως όλη την απαιτούμενη κοινή γνώση για να πραγματοποιηθεί επαγωγικά ολόκληρη η άπειρη αλυσίδα. Κι’ αυτό κάνει το παράδειγμα του 157 πολύ ωραίο. Το 157 αποκλείεται μόνο αφού ολοκληρωθούν νοητά 156 προηγούμενα βήματα. Δεν υπάρχει όμως ένα τελευταίο, «άπειρο» βήμα που να αποκλείει όλους τους αριθμούς μαζί.