🔷 Το Παράδοξο του Άρρητου Πολυτόπου
Ένα πολύτοπο είναι η γενίκευση των γνωστών γεωμετρικών σχημάτων σε οποιαδήποτε διάσταση: ένα πολύγωνο είναι ένα δισδιάστατο πολύτοπο, ένα πολύεδρο ένα τρισδιάστατο και από εκεί και πέρα αρχίζει ένας γεωμετρικός κόσμος που δύσκολα μπορούμε να απεικονίσουμε.
Ας ξεκινήσουμε όμως από κάτι οικείο. Ένα κανονικό πεντάγωνο δεν μπορεί να τοποθετηθεί στο επίπεδο έτσι ώστε όλες οι κορυφές του να έχουν ρητές συντεταγμένες. Η παρουσία του άρρητου χρυσού αριθμού στη γεωμετρία του το εμποδίζει.
Μπορούμε όμως να μετακινήσουμε ελαφρά τις κορυφές του. Το πεντάγωνο θα πάψει να είναι κανονικό, αλλά μπορούμε να διατηρήσουμε την ίδια βασική δομή και να το κάνουμε έτσι ώστε όλες οι κορυφές του να βρίσκονται σε σημεία με ρητές συντεταγμένες.
Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με ένα κανονικό δωδεκάεδρο. Η κανονική μορφή του δεν επιτρέπει όλες οι κορυφές του να έχουν ρητές συντεταγμένες, αλλά μπορούμε να το παραμορφώσουμε κατάλληλα και να αποκτήσουμε ένα συνδυαστικά ισοδύναμο πολύεδρο που τις έχει.
Υπάρχουν κυρτά πολύτοπα ανώτερων διαστάσεων των οποίων η συνδυαστική δομή δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί με όλες τις κορυφές σε σημεία ρητών συντεταγμένων. Δεν έχει σημασία πόσο προσεκτικά θα προσπαθήσουμε να μετακινήσουμε τις κορυφές: κάποια αρρητότητα είναι αναπόφευκτη.
Το εντυπωσιακό αυτό αποτέλεσμα οφείλεται στον μαθηματικό Micha Perles, ο οποίος το απέδειξε τη δεκαετία του 1960. Αργότερα ο Günter M. Ziegler παρουσίασε απλούστερες κατασκευές σχετικών μη ρητών διαμορφώσεων και πολυτόπων.
Είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα του πόσο επικίνδυνη μπορεί να γίνει η γεωμετρική μας διαίσθηση όταν εγκαταλείψουμε τις τρεις διαστάσεις στις οποίες έχουμε μάθει να ζούμε.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου