🔢 Το μυστήριο των διαδοχικών τέλειων δυνάμεων

Ας γράψουμε, χωρίς επαναλήψεις, τους αριθμούς που είναι τετράγωνα ή κύβοι και είναι τουλάχιστον ίσοι με \(4\):

\[ 4,\,8,\,9,\,16,\,25,\,27,\,36,\,49,\,64,\,81,\,100,\ldots \]

Αμέσως ξεχωρίζει το ζεύγος \(8,9\). Πρόκειται για διαδοχικούς ακεραίους και συγχρόνως για γνήσιες δυνάμεις:

\[2^3=8\]

\[3^2=9\]

Υπάρχει άλλο ζεύγος διαδοχικών θετικών ακεραίων που να είναι και οι δύο τέλειες δυνάμεις; Ο Eugène Charles Catalan διατύπωσε το 1844 την τολμηρή πρόβλεψη ότι η απάντηση είναι όχι.

Η ακριβής διατύπωση

Για ακεραίους \(x,y,a,b>1\), η εξίσωση

\[ x^a-y^b=1 \]

έχει μία και μοναδική λύση:

\[ 3^2-2^3=9-8=1. \]

Η προϋπόθεση \(x,y,a,b>1\) είναι ουσιώδης: αποκλείει τις τετριμμένες περιπτώσεις που προκύπτουν από βάσεις ή εκθέτες ίσους με \(0\) ή \(1\). Επίσης, το θεώρημα δεν αφορά μόνο τετράγωνα και κύβους, αλλά όλες τις ακέραιες δυνάμεις με εκθέτη μεγαλύτερο του \(1\).

Από εικασία σε θεώρημα

1844: Ο Catalan δημοσιεύει την εικασία.

2002: Ο Preda Mihăilescu ανακοινώνει την απόδειξή της.

2004: Δημοσιεύεται η πλήρης απόδειξη και η εικασία γίνεται γνωστή ως Θεώρημα του Mihăilescu.

Η απόδειξη δεν είναι στοιχειώδης. Χρησιμοποιεί βαθιές ιδέες της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, ιδιαίτερα κυκλοτομικά σώματα και κυκλοτομικές μονάδες. Γι’ αυτό η απλή εμφάνιση της εξίσωσης κρύβει ένα εξαιρετικά δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα.

Γιατί το \(64\) εμφανίζεται μόνο μία φορά στην ακολουθία;

Επειδή είναι συγχρόνως τετράγωνο και κύβος:

\[ 64=8^2=4^3=2^6. \]

Η ακολουθία καταγράφει τις διαφορετικές αριθμητικές τιμές, όχι κάθε διαφορετικό τρόπο αναπαράστασής τους.

Μια εντυπωσιακή συνέπεια

Αν δύο γνήσιες τέλειες δυνάμεις διαφέρουν κατά \(1\), τότε αναγκαστικά είναι οι \(8\) και \(9\). Άρα το μικρό αυτό ζεύγος δεν είναι απλώς το πρώτο παράδειγμα που βρήκαμε· είναι το μοναδικό σε ολόκληρο το άπειρο των θετικών ακεραίων.

Μερικές φορές, δύο γειτονικοί αριθμοί αρκούν για να ανοίξουν ένα πρόβλημα που χρειάζεται περισσότερο από ενάμιση αιώνα για να λυθεί.

Πηγές

• P. Mihăilescu, “A Class Number Free Criterion for Catalan’s Conjecture”, Journal of Number Theory 99 (2003), 225–231.
• P. Mihăilescu, “Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan’s Conjecture”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 572 (2004), 167–195.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →