🔢 Ο Πλαστικός Αριθμός – Ο «Ξάδελφος» της Χρυσής Τομής

🔢 Ο Πλαστικός Αριθμός – Ένας Λιγότερο Γνωστός «Ξάδελφος» της Χρυσής Τομής

Η χρυσή τομή είναι ίσως η γνωστότερη μαθηματική σταθερά μετά το \(\pi\). Υπάρχει όμως ένας λιγότερο διάσημος αριθμός με εξίσου όμορφες ιδιότητες: ο πλαστικός αριθμός (plastic number), που συμβολίζεται με \(\rho\).

Ορίζεται ως η μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης

\[ \boxed{\rho^3=\rho+1} \]

και αριθμητικά είναι

\[ \boxed{\rho\approx1.324717957244746\ldots} \]

Με τον τύπο επίλυσης της κυβικής εξίσωσης μπορεί να γραφτεί:

\[ \rho= \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}}. \]

🌱 Μια εντυπωσιακή εμφωλευμένη ρίζα

Από τη σχέση

\[ \rho^3=1+\rho \]

παίρνουμε

\[ \rho=\sqrt[3]{1+\rho}. \]

Αν αντικαταστήσουμε ξανά και ξανά το \(\rho\) στο δεξί μέλος, προκύπτει η πανέμορφη παράσταση

\[ \boxed{ \rho= \sqrt[3]{1+ \sqrt[3]{1+ \sqrt[3]{1+ \sqrt[3]{1+\cdots}}}} } \]

Η σχέση με την ακολουθία Padovan

Ο πλαστικός αριθμός εμφανίζεται φυσικά στην ακολουθία Padovan, η οποία μπορεί να οριστεί μέσω της αναδρομικής σχέσης

\[ P_n=P_{n-2}+P_{n-3}. \]

Για κατάλληλες αρχικές τιμές εμφανίζεται η ακολουθία

\[ 1,\;1,\;1,\;2,\;2,\;3,\;4,\;5,\;7,\;9,\;12,\;16,\;21,\ldots \]

Και όπως οι λόγοι διαδοχικών αριθμών Fibonacci πλησιάζουν τη χρυσή τομή, έτσι οι λόγοι διαδοχικών όρων της Padovan πλησιάζουν τον πλαστικό αριθμό:

\[ \boxed{ \lim_{n\to\infty}\frac{P_{n+1}}{P_n}=\rho } \]

Χρυσή τομή

\[ \varphi^2=\varphi+1 \]

Πλαστικός αριθμός

\[ \rho^3=\rho+1 \]

Δύο απλές εξισώσεις — δύο αξιοσημείωτες μαθηματικές σταθερές.

Πηγές: Wolfram MathWorld – Plastic Constant  ·  The Plastic Number and its Generalized Polynomial

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →