🍫 Ποιο κέικ είναι η καλύτερη αγορά;
Περπατάτε στην Πέμπτη Λεωφόρο της Νέας Υόρκης και μπαίνετε σε ένα ζαχαροπλαστείο που πουλά ένα λαχταριστό κέικ μους τριπλής σοκολάτας: στρώσεις σοκολατένιου παντεσπανιού, πλούσια γέμιση μους και επικάλυψη μαύρης σοκολάτας.
Με 10 δολάρια μπορείτε να αγοράσετε:
ένα κυκλικό κέικ διαμέτρου 8,5 ιντσών
ή
ένα τετράγωνο κέικ πλευράς 7,5 ιντσών.
Ποιο από τα δύο συμφέρει περισσότερο; Και γενικότερα: είναι ένα κυκλικό κέικ διαμέτρου \(d\) πάντοτε καλύτερη αγορά από ένα τετράγωνο κέικ πλευράς \(d-1\);
Δείτε τους υπολογισμούς και τη γενική απάντηση
Υποθέτουμε ότι τα δύο κέικ έχουν ίδιο ύψος και ίδια σύσταση. Τότε αρκεί να συγκρίνουμε τα εμβαδά τους, αφού ο όγκος είναι το εμβαδόν της βάσης επί το κοινό ύψος.
Η αγορά των 10 δολαρίων
Για το κυκλικό κέικ, η ακτίνα είναι \(r=8{,}5/2=4{,}25\) ίντσες. Επομένως:
\[A_{\mathrm{κ}}=\pi r^2=\pi(4{,}25)^2=18{,}0625\pi\approx56{,}745.\]
Για το τετράγωνο κέικ:
\[A_{\mathrm{τ}}=7{,}5^2=56{,}25.\]
Προσφέρει περίπου \(56{,}745-56{,}25=0{,}495\) τετραγωνικές ίντσες περισσότερο — πλεονέκτημα μόλις 0,88%.
Είναι ο κύκλος πάντοτε καλύτερη αγορά;
Για κυκλικό κέικ διαμέτρου \(d\) και τετράγωνο πλευράς \(d-1\), τα εμβαδά είναι:
\[A_{\mathrm{κ}}=\frac{\pi d^2}{4},\qquad A_{\mathrm{τ}}=(d-1)^2.\]
Το κυκλικό κέικ συμφέρει όταν
\[\frac{\pi d^2}{4}>(d-1)^2.\]
Για τη φυσικά ενδιαφέρουσα περίπτωση \(d>1\), ώστε η πλευρά \(d-1\) να είναι θετική, μπορούμε να πάρουμε τετραγωνικές ρίζες:
\[\frac{\sqrt{\pi}}{2}d>d-1.\]
Άρα:
\[d<\frac{1}{1-\frac{\sqrt{\pi}}{2}}\approx8{,}789.\]
| Διάμετρος \(d\) | Καλύτερη αγορά |
|---|---|
| \(1 | Κυκλικό κέικ |
| \(d\approx8{,}789\) | Ίση ποσότητα |
| \(d>8{,}789\) | Τετράγωνο κέικ |
Επομένως, όχι: το κυκλικό κέικ δεν είναι πάντοτε καλύτερη αγορά. Καθώς το \(d\) μεγαλώνει, η διαφορά της μίας ίντσας ανάμεσα στη διάμετρο και την πλευρά γίνεται αναλογικά μικρότερη, και τελικά το τετράγωνο κερδίζει.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου