Σκεφτείτε την πρόταση: «Αυτό που λέω δεν μπορεί να αποδειχθεί.»
Ας υποθέσουμε πρώτα ότι η πρόταση αυτή μπορεί να αποδειχθεί. Τότε, αφού την αποδείξαμε, αυτό που λέει πρέπει να είναι αληθές. Αλλά αυτό που λέει είναι ακριβώς ότι δεν μπορεί να αποδειχθεί — αντίφαση.
Η υπόθεσή μας, δηλαδή, ότι η πρόταση είναι αποδείξιμη, οδηγεί σε άτοπο.
Μας μένει μόνο ο άλλος δρόμος: ας υποθέσουμε ότι η πρόταση δεν μπορεί να αποδειχθεί. Αλλά αυτό είναι ακριβώς αυτό που η ίδια η πρόταση ισχυρίζεται — άρα, τελικά, είναι αληθής.
Και εδώ βρίσκεται το ίδιο το παράδοξο: μόλις αποδείξαμε ότι η πρόταση είναι αληθής, χρησιμοποιώντας ακριβώς αυτό το συλλογισμό.
Το παράδοξο αυτό δεν είναι απλώς ένα γλωσσικό παιχνίδι. Είναι στενά συγγενικό με μία από τις βαθύτερες ανακαλύψεις στα θεμέλια των μαθηματικών: το θεώρημα μη πληρότητας του Gödel (1931).
Ο Kurt Gödel κατασκεύασε, με αυστηρά τυπικό τρόπο, μια πρόταση εντός ενός επαρκώς ισχυρού μαθηματικού συστήματος, η οποία ισχυρίζεται —μέσα από τη δική της κωδικοποίηση— ότι δεν αποδεικνύεται εντός του συστήματος.
Αν το σύστημα είναι συνεπές, μια τέτοια πρόταση αποδεικνύεται πράγματι αληθής, χωρίς όμως να μπορεί ποτέ να αποδειχθεί εντός του ίδιου του συστήματος — μια αλήθεια που το ίδιο το σύστημα δεν μπορεί ποτέ να «φτάσει».
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου