📐 Αινιγματικά αθροίσματα τόξων εφαπτομένης — Μπορείς να τα δεις γεωμετρικά;

Ανάμεσα στους πολλούς τριγωνομετρικούς τύπους εμφανίζονται μερικές σχέσεις που μοιάζουν σχεδόν απίθανες:

\[ \boxed{ \arctan\frac12+\arctan\frac13 = \arctan 1 } \]

\[ \boxed{ \arctan\frac13+\arctan\frac17 = \arctan\frac12 } \]

Θα μπορούσαμε φυσικά να τις επαληθεύσουμε χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο

\[ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta} {1-\tan\alpha\tan\beta}. \]

Υπάρχει όμως ένας πολύ πιο οπτικός τρόπος: να αναζητήσουμε τις γωνίες μέσα σε κατάλληλα ορθογώνια τρίγωνα.

🧠 Πρόκληση

1. Συμπληρώστε και εξηγήστε τη γεωμετρική ιδέα του σχήματος για

\[ \arctan\frac13+\arctan\frac17 = \arctan\frac12. \]

2. Κατασκευάστε ένα διαφορετικό σχήμα που να αναπαριστά γεωμετρικά ότι

\[ \arctan\frac12+\arctan\frac13 = \arctan1. \]

3. Μπορείτε να ανακαλύψετε μια ακόμη ταυτότητα του ίδιου τύπου;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Θέστε

\[ \alpha=\arctan\frac1m, \qquad \beta=\arctan\frac1n. \]

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μια σχέση της μορφής

\[ \tan\alpha=\frac1m \]

μπορεί να αναπαρασταθεί επιλέγοντας κάθετες πλευρές με λόγο \(1:m\).

Για το τρίτο ερώτημα, παρατηρήστε προσεκτικά τους παρονομαστές στις δύο αρχικές σχέσεις:

\[ (2,3)\qquad\text{και}\qquad(3,7). \]

Ποια αριθμητική σχέση πρέπει να ικανοποιούν οι \(m,n,k\), ώστε να ισχύει

\[ \arctan\frac1m+\arctan\frac1n = \arctan\frac1k; \]

✅ Εμφάνιση πλήρους λύσης

1. Η σχέση \(\arctan\frac13+\arctan\frac17=\arctan\frac12\)

Θέτουμε

\[ \alpha=\arctan\frac13, \qquad \beta=\arctan\frac17. \]

Άρα

\[ \tan\alpha=\frac13, \qquad \tan\beta=\frac17. \]

Γεωμετρικά, οι δύο γωνίες μπορούν να εμφανιστούν σε ορθογώνια τρίγωνα των οποίων οι κάθετες πλευρές έχουν αντίστοιχα λόγους

\[ 1:3 \qquad\text{και}\qquad 1:7. \]

Για να εξακριβώσουμε ποια γωνία σχηματίζει το άθροισμα \(\alpha+\beta\), υπολογίζουμε την εφαπτομένη του:

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan\alpha+\tan\beta} {1-\tan\alpha\tan\beta}\\[4pt] &= \frac{\frac13+\frac17} {1-\frac1{21}}\\[4pt] &= \frac{\frac{10}{21}} {\frac{20}{21}}\\[4pt] &= \frac12. \end{aligned} \]

Επειδή \(\alpha\) και \(\beta\) είναι θετικές οξείες γωνίες και το άθροισμά τους παραμένει οξύ, έχουμε

\[ \boxed{ \alpha+\beta=\arctan\frac12 } \]

και επομένως

\[ \boxed{ \arctan\frac13+\arctan\frac17 = \arctan\frac12 }. \]

2. Η σχέση \(\arctan\frac12+\arctan\frac13=\arctan1\)

Θέτουμε τώρα

\[ \alpha=\arctan\frac12, \qquad \beta=\arctan\frac13. \]

Τότε

\[ \tan\alpha=\frac12, \qquad \tan\beta=\frac13. \]

Εφαρμόζουμε ξανά τον τύπο της εφαπτομένης αθροίσματος:

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\frac12+\frac13} {1-\frac16}\\[4pt] &= \frac{\frac56}{\frac56}\\[4pt] &=1. \end{

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →