🟩 Μπορείς να βρεις το εμβαδόν του τετραγώνου;

Το μεγάλο σχήμα της εικόνας είναι ένα τετράγωνο, χωρισμένο σε μικρότερα ορθογώνια.

Γνωρίζουμε δύο μόνο πράγματα:

🟢 Όλα τα μικρότερα ορθογώνια έχουν ακριβώς το ίδιο εμβαδόν.

📏 Η κατακόρυφη πλευρά του μικρού λευκού ορθογωνίου που σημειώνεται στο σχήμα έχει μήκος 8.

Δεν γνωρίζουμε καμία άλλη διάσταση.

Κι όμως, αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετές!

🤔 Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου;

🧠 Προσπάθησε να το βρεις πριν ανοίξεις τη λύση.

🔍 Εμφάνιση λύσης

Ας ονομάσουμε \(A\) το κοινό εμβαδόν κάθε μικρού ορθογωνίου.

Θα δούμε ότι μπορούμε να ανακαλύψουμε διαδοχικά αρκετές από τις διαστάσεις του σχήματος, χωρίς να γνωρίζουμε ακόμη το \(A\).

1️⃣ Ξεκινάμε από το λευκό ορθογώνιο

Το λευκό ορθογώνιο έχει ύψος \(8\) και εμβαδόν \(A\). Άρα το πλάτος του είναι

\[ \frac{A}{8}. \]

Ακριβώς επάνω του βρίσκονται δύο ορθογώνια ίσου εμβαδού και ίσου ύψους: το μπλε και το σκούρο γκρι.

Επειδή έχουν ίσα εμβαδά και ίδιο ύψος, έχουν και ίσα πλάτη. Καθένα λοιπόν έχει πλάτος

\[ \frac{A}{16}. \]

Αφού το εμβαδόν καθενός είναι \(A\), το ύψος τους είναι

\[ \frac{A}{A/16}=16. \]

💡 Άρα η κεντρική περιοχή έχει συνολικό κατακόρυφο μήκος \[ 16+8=24. \]

2️⃣ Το πορτοκαλί ορθογώνιο

Το πορτοκαλί ορθογώνιο έχει ακριβώς αυτό το ύψος, δηλαδή \(24\).

Επειδή και αυτό έχει εμβαδόν \(A\), το πλάτος του είναι

\[ \frac{A}{24}. \]

3️⃣ Το επάνω γαλάζιο ορθογώνιο

Το πλάτος του επάνω γαλάζιου ορθογωνίου είναι ίσο με το άθροισμα του πλάτους του πορτοκαλί και των δύο κεντρικών ορθογωνίων.

\[ \frac{A}{24} + 2\cdot\frac{A}{16} = \frac{A}{24}+\frac{A}{8} = \frac{A}{6}. \]

Αφού το εμβαδόν του είναι επίσης \(A\), το ύψος του είναι

\[ \frac{A}{A/6}=6. \]

Επομένως, από την κάτω πλευρά του επάνω γαλάζιου ορθογωνίου μέχρι την επάνω πλευρά του κάτω γκρι ορθογωνίου έχουμε συνολικά

\[ 6+16+8=30. \]

4️⃣ Ας ονομάσουμε \(x\) την πλευρά του τετραγώνου

Το κίτρινο ορθογώνιο έχει ύψος \(30\). Επομένως, αφού έχει εμβαδόν \(A\), το πλάτος του είναι

\[ \frac{A}{30}. \]

Το πράσινο ορθογώνιο στα αριστερά έχει ύψος ολόκληρη την πλευρά \(x\) του τετραγώνου. Άρα το πλάτος του είναι

\[ \frac{A}{x}. \]

Κοιτάζοντας τώρα την επάνω πλευρά του μεγάλου τετραγώνου, έχουμε:

\[ x= \frac{A}{x} +\frac{A}{6} +\frac{A}{30}. \]

Επειδή

\[ \frac{A}{6}+\frac{A}{30} =\frac{A}{5}, \]

παίρνουμε

\[ x=\frac{A}{x}+\frac{A}{5}. \tag{1} \]

5️⃣ Χρησιμοποιούμε το κάτω γκρι ορθογώνιο

Το ύψος του κάτω γκρι ορθογωνίου είναι

\[ x-30. \]

Το πλάτος του είναι ολόκληρη η πλευρά του τετραγώνου εκτός από το πράσινο ορθογώνιο:

\[ x-\frac{A}{x}. \]

Επειδή το εμβαδόν του είναι επίσης \(A\),

\[ A= \left(x-\frac{A}{x}\right)(x-30). \tag{2} \]

Από τη σχέση (1) έχουμε

\[ A=\frac{5x^2}{x+5}. \]

Αντικαθιστώντας στη σχέση (2) και απλοποιώντας, προκύπτει

\[ x=35. \]

Άρα η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου είναι \(35\).

🎯 Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι \[ 35^2=\boxed{1225}. \]

✨ Το εντυπωσιακό είναι ότι από ένα μόνο γνωστό μήκος, το \(8\), και την πληροφορία ότι όλα τα μικρότερα ορθογώνια έχουν ίσα εμβαδά, προσδιορίζεται ολόκληρο το τετράγωνο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →