🔢 Ο διψήφιος αριθμός με τις οκτώ λύσεις

Είχα βρει έναν πολύ ενδιαφέροντα διψήφιο φυσικό αριθμό.

Αποδείχθηκε ότι, αν προσθέσουμε σε αυτόν τον αριθμό εκείνον που προκύπτει όταν αντιστρέψουμε τα ψηφία του, το αποτέλεσμα είναι ένα τέλειο τετράγωνο.

🧩 Η πρόκληση

Μπορείς να βρεις έναν τέτοιο διψήφιο αριθμό;

Η τάξη άρχισε να ψάχνει.

Και τότε ένας μαθητής παρενέβη:

🙋 «Δάσκαλε, να του δώσουμε και τις οκτώ λύσεις ή αρκεί μία;»

Εντάξει λοιπόν... Μετά από αυτή την παρέμβαση, η πρόκληση αλλάζει. 😄

🎯 Βρες και τους οκτώ διψήφιους αριθμούς!

💡 Μπορείς να τους βρεις χωρίς να δοκιμάσεις έναν προς έναν όλους τους διψήφιους αριθμούς;

🔍 Εμφάνιση λύσης

Ας γράψουμε τον άγνωστο διψήφιο αριθμό ως

\[ 10a+b, \]

όπου \(a\) είναι το ψηφίο των δεκάδων και \(b\) το ψηφίο των μονάδων.

Αν αντιστρέψουμε τα ψηφία του, παίρνουμε

\[ 10b+a. \]

Το άθροισμά τους είναι:

\[ (10a+b)+(10b+a) \] \[ =11a+11b \] \[ =\boxed{11(a+b)}. \]

🔍 Πότε μπορεί αυτό να είναι τέλειο τετράγωνο;

Επειδή \(a\) και \(b\) είναι ψηφία, έχουμε

\[ 1\leq a\leq9,\qquad 0\leq b\leq9, \]

και επομένως

\[ 1\leq a+b\leq18. \]

Άρα

\[ 11\leq11(a+b)\leq198. \]

Θέλουμε τώρα ο αριθμός \(11(a+b)\) να είναι τέλειο τετράγωνο.

Όμως είναι διαιρετός με το \(11\). Αν ένα τέλειο τετράγωνο διαιρείται με το \(11\), τότε ο πρώτος παράγοντας \(11\) πρέπει να εμφανίζεται με άρτιο εκθέτη. Επομένως το τετράγωνο πρέπει να είναι διαιρετό με

\[ 11^2=121. \]

Στο διάστημα από \(11\) έως \(198\) υπάρχει μόνο ένα τέτοιο τέλειο τετράγωνο:

\[ \boxed{121=11^2}. \]

Άρα πρέπει

\[ 11(a+b)=121, \]

οπότε

\[ \boxed{a+b=11}. \]

🎯 Και τώρα εμφανίζονται οι οκτώ λύσεις

Χρειαζόμαστε λοιπόν δύο ψηφία με άθροισμα \(11\), με το πρώτο να μην είναι μηδέν.

\(2+9=11\)   →   29
\(3+8=11\)   →   38
\(4+7=11\)   →   47
\(5+6=11\)   →   56
\(6+5=11\)   →   65
\(7+4=11\)   →   74
\(8+3=11\)   →   83
\(9+2=11\)   →   92

Επομένως οι οκτώ λύσεις είναι:

\[ \boxed{29,\;38,\;47,\;56,\;65,\;74,\;83,\;92} \]

Και πράγματι, σε κάθε περίπτωση ο αντίστροφος αριθμός είναι επίσης στη λίστα και το άθροισμα είναι πάντα:

\[ 29+92=38+83=47+74=56+65=121=11^2. \]

✨ Η όμορφη ιδέα

Η αντιστροφή των ψηφίων φαίνεται αρχικά να δημιουργεί ένα πρόβλημα με πολλές δοκιμές. Όμως η απλή παρατήρηση \[ (10a+b)+(10b+a)=11(a+b) \] μετατρέπει ολόκληρο τον γρίφο σε ένα μικρό πρόβλημα διαιρετότητας και τέλειων τετραγώνων.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →