🧊 Μπορείς να λύσεις αυτή την εξίσωση με κυβικές ρίζες;

Είχα αναθέσει στους μαθητές μου μια συλλογή εξισώσεων με ρίζες. Ανάμεσα στις συνηθισμένες τετραγωνικές ρίζες, πρόσθεσα και μία κάπως διαφορετική:

\[ \boxed{\sqrt[3]{1729-x}+\sqrt[3]{x}=19} \]

Οι περισσότεροι μαθητές παραδέχθηκαν ότι δεν είχαν ξανασυναντήσει τέτοιου είδους εξίσωση.

Ένας όμως ξεκίνησε με μια πολύ φυσική σκέψη:

💭 «Αφού για να απαλλαγούμε από μια τετραγωνική ρίζα υψώνουμε στο τετράγωνο, για να απαλλαγούμε από μια κυβική ρίζα θα πρέπει να υψώσουμε στον κύβο...»

Η ιδέα είναι σωστή. Το ενδιαφέρον όμως είναι πώς θα την εφαρμόσουμε χωρίς να χαθούμε σε έναν μεγάλο αριθμό πράξεων.

🎯 Η πρόκληση

Να λύσετε την εξίσωση \[ \sqrt[3]{1729-x}+\sqrt[3]{x}=19 \] με όσο το δυνατόν πιο κομψό τρόπο.

🧠 Υπόδειξη: Μην αναπτύξεις βιαστικά τα πάντα. Κοίτα πρώτα προσεκτικά το \(1729\) και το \(19\).

🔍 Εμφάνιση λύσης

1️⃣ Απλοποιούμε την εικόνα

Θέτουμε

\[ a=\sqrt[3]{1729-x} \qquad\text{και}\qquad b=\sqrt[3]{x}. \]

Η αρχική εξίσωση γίνεται απλώς

\[ a+b=19. \]

Από τους ορισμούς των \(a\) και \(b\), όμως, έχουμε επίσης

\[ a^3=1729-x,\qquad b^3=x. \]

Προσθέτοντας:

\[ a^3+b^3=1729. \]

Άρα γνωρίζουμε ταυτόχρονα ότι

\[ \boxed{a+b=19} \qquad\text{και}\qquad \boxed{a^3+b^3=1729}. \]

2️⃣ Η κατάλληλη ταυτότητα

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα

\[ (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b). \]

Αντικαθιστούμε όσα ήδη γνωρίζουμε:

\[ 19^3=1729+3ab\cdot19. \]

Επειδή

\[ 19^3=6859, \]

παίρνουμε

\[ 6859=1729+57ab. \]

Άρα

\[ 57ab=5130 \]

και επομένως

\[ \boxed{ab=90}. \]

3️⃣ Τώρα γνωρίζουμε άθροισμα και γινόμενο

Έχουμε λοιπόν:

\[ a+b=19,\qquad ab=90. \]

Οι αριθμοί \(a\) και \(b\) είναι επομένως οι ρίζες της εξίσωσης

\[ t^2-19t+90=0. \]

Παραγοντοποιούμε:

\[ (t-9)(t-10)=0. \]

Άρα

\[ \{a,b\}=\{9,10\}. \]

4️⃣ Επιστρέφουμε στο \(x\)

Θυμόμαστε ότι

\[ b=\sqrt[3]{x}. \]

Επομένως έχουμε δύο περιπτώσεις.

Αν \(b=9\), τότε

\[ x=9^3=729. \]

Αν \(b=10\), τότε

\[ x=10^3=1000. \]

🎯 Επομένως η εξίσωση έχει δύο λύσεις: \[ \boxed{x=729\quad\text{ή}\quad x=1000} \]

✅ Έλεγχος

Για \(x=729\):

\[ \sqrt[3]{1729-729}+\sqrt[3]{729} = \sqrt[3]{1000}+\sqrt[3]{729} = 10+9=19. \]

Για \(x=1000\):

\[ \sqrt[3]{1729-1000}+\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{729}+\sqrt[3]{1000} = 9+10=19. \]

Και οι δύο τιμές επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.

✨ Η ιδέα που αξίζει να κρατήσουμε

Το δύσκολο σημείο δεν ήταν να «εξαφανίσουμε» μηχανικά τις κυβικές ρίζες. Ήταν να αναγνωρίσουμε ότι οι δύο κυβικές ρίζες μπορούν να αντιμετωπιστούν ως δύο αριθμοί των οποίων γνωρίζουμε τόσο το άθροισμα όσο και το άθροισμα των κύβων τους.

Η ταυτότητα \[ (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \] κάνει τότε σχεδόν όλη τη δουλειά.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →