🔍 Ποιο Είναι Αυτό το Μυστηριώδες Αυτοόμοιο Σχήμα;

Αυτό το μαθηματικό αντικείμενο είναι ένα από τα ωραιότερα αναδρομικά σχήματα της Γεωμετρίας. Τι είναι; Και ποια ιδιότητα το κάνει τόσο ξεχωριστό;

Παρατηρήστε προσεκτικά τη μορφή του. Στο επάνω μέρος διακρίνεται ένα μεγάλο πεντάγραμμο. Λίγο χαμηλότερα εμφανίζεται ένα μικρότερο, έπειτα ένα ακόμη μικρότερο, και η ίδια διαδικασία μπορεί θεωρητικά να συνεχιστεί χωρίς τέλος.

Τα κέντρα των διαδοχικών πενταγράμμων βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ενώ κάθε νέο πεντάγραμμο —εκτός από το πρώτο— μοιράζεται δύο κορυφές με το αμέσως μεγαλύτερό του. Το συνολικό σχήμα στενεύει διαρκώς και πλησιάζει μία οριακή κορυφή.

Μικρή υπόδειξη: αναζητήστε μέσα στο σχήμα γωνίες \(36^\circ\) και \(72^\circ\), χρυσά ισοσκελή τρίγωνα και τον αριθμό

\(\displaystyle \varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618\).

Δείτε την απάντηση και γιατί είναι ξεχωριστό

Η Λύρα του Πυθαγόρα

Το σχήμα ονομάζεται Λύρα του Πυθαγόρα (Lute of Pythagoras). Είναι μια αυτοόμοια γεωμετρική κατασκευή που δημιουργείται από μια ακολουθία κανονικών πενταγράμμων.

Η ονομασία παραπέμπει στο περίγραμμά του, το οποίο θυμίζει έγχορδο όργανο, και στη στενή σχέση του πενταγράμμου με την πυθαγόρεια παράδοση. Η πραγματική ιστορική προέλευση της συγκεκριμένης αναδρομικής κατασκευής, ωστόσο, δεν είναι βέβαιη· δεν πρέπει να θεωρούμε ότι σχεδιάστηκε οπωσδήποτε από τον ίδιο τον Πυθαγόρα.

1. Επαναλαμβάνει τον εαυτό του

Κάθε στάδιο αναπαράγει την ίδια γεωμετρική δομή σε μικρότερη κλίμακα. Η διαδικασία δεν έχει τελευταίο βήμα: τα πεντάγραμμα μικραίνουν και συσσωρεύονται προς ένα σημείο. Έτσι, ένα πεπερασμένο σχήμα κρύβει μέσα του μια δυνητικά άπειρη κατασκευή.

2. Κυριαρχείται από τη χρυσή τομή

Στο κανονικό πεντάγωνο, ο λόγος της διαγωνίου προς την πλευρά είναι

\(\displaystyle \frac{\text{διαγώνιος}}{\text{πλευρά}}=\varphi\).

Οι διαγώνιοι τέμνονται επίσης σε χρυσούς λόγους. Γι’ αυτό τα διαδοχικά πεντάγραμμα της Λύρας είναι συνδεδεμένα με τον ίδιο αριθμό: ο λόγος αντίστοιχων μηκών ενός μεγαλύτερου πενταγράμμου προς το επόμενο μικρότερο είναι \(\varphi\).

3. Είναι χτισμένη από χρυσά τρίγωνα

Το εξωτερικό της περίβλημα είναι ένας χαρταετός με τρεις γωνίες \(108^\circ\) και μία γωνία \(36^\circ\). Στο εσωτερικό του επαναλαμβάνονται χρυσά τρίγωνα: ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες \(72^\circ,72^\circ,36^\circ\), στα οποία ο λόγος της ίσης πλευράς προς τη βάση είναι πάλι \(\varphi\).

4. Το άπειρο χωρά σε πεπερασμένο χώρο

Επειδή οι διαστάσεις μειώνονται γεωμετρικά, τα άπειρα στάδια δεν ξεφεύγουν προς το άπειρο· συγκλίνουν στην κάτω κορυφή. Είναι μια εξαιρετικά καθαρή οπτική εικόνα της σύγκλισης: άπειρες επαναλήψεις, αλλά περιορισμένη συνολική έκταση.

Η γοητεία του σχήματος: μια απλή πράξη —η επανάληψη ενός πενταγράμμου— συνδέει την αυτοομοιότητα, τη χρυσή τομή, τα όρια και την ιδέα του απείρου μέσα σε μία μόνο εικόνα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →