🌀 Πώς «Βλέπουμε» τις Μιγαδικές Ρίζες μιας Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

🔵 Πώς «Βλέπουμε» τις Μιγαδικές Ρίζες;

Όταν μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες, μπορούμε να τις δούμε στη γραφική παράσταση της αντίστοιχης παραβολής: οι ρίζες είναι οι τετμημένες των σημείων στα οποία η παραβολή συναντά τον άξονα \(x\).

Δύο πραγματικές ρίζες

Για παράδειγμα, η εξίσωση

\[ x^2+3x+2=0 \]

έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Η παραβολή τέμνει τον άξονα \(x\) σε δύο σημεία.

Μία διπλή πραγματική ρίζα

Στην εξίσωση

\[ -x^2+6x-9=0 \]

έχουμε

\[ -(x-3)^2=0. \]

Η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα \(x\), αλλά εφάπτεται σε αυτόν στο σημείο \((3,0)\). Έτσι η εξίσωση έχει τη διπλή πραγματική ρίζα

\[ x=3. \]

Και όταν δεν υπάρχει καμία τομή;

Μένει η τρίτη περίπτωση: η παραβολή δεν συναντά καθόλου τον πραγματικό άξονα \(x\). Τότε η αντίστοιχη εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, αλλά δύο συζυγείς μιγαδικές.

Μπορούμε όμως να τις «δούμε» γεωμετρικά;

Ένα παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε την εξίσωση

\[ x^2-2x+5=0. \]

Η αντίστοιχη συνάρτηση γράφεται

\[ y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4. \]

Η παραβολή έχει κορυφή το \((1,4)\) και βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα \(x\).

Επομένως η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Η γεωμετρική κατασκευή

1. Σχεδιάζουμε την αρχική παραβολή.

2. Την ανακλούμε ως προς την οριζόντια ευθεία που περνά από την κορυφή της.

3. Η ανακλώμενη παραβολή τέμνει τον άξονα \(x\) σε δύο σημεία.

4. Θεωρούμε αυτά τα δύο σημεία ως άκρα μιας διαμέτρου και σχεδιάζουμε τον αντίστοιχο κύκλο.

5. Τα δύο κατακόρυφα άκρα του κύκλου αναπαριστούν, στο μιγαδικό επίπεδο, τις δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες.

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η ανακλώμενη παραβολή είναι

\[ y=-(x-1)^2+4. \]

Οι τομές της με τον άξονα \(x\) είναι

\[ (-1,0)\qquad\text{και}\qquad(3,0). \]

Άρα ο κύκλος έχει κέντρο \((1,0)\) και ακτίνα \(2\). Τα δύο κατακόρυφα άκρα του είναι

\[ (1,2)\qquad\text{και}\qquad(1,-2). \]

Στο μιγαδικό επίπεδο τα δύο αυτά σημεία αντιστοιχούν ακριβώς στους αριθμούς

\[ \boxed{1+2i\qquad\text{και}\qquad1-2i}. \]

Γιατί λειτουργεί;

Ας θεωρήσουμε μια μονική δευτεροβάθμια εξίσωση η οποία, μετά τη συμπλήρωση τετραγώνου, γράφεται στη μορφή

\[ (x-a)^2+b=0,\qquad b>0. \]

Οι ρίζες της είναι

\[ \boxed{x=a\pm i\sqrt b}. \]

Η αντίστοιχη παραβολή είναι

\[ y=(x-a)^2+b. \]

Αν την ανακλάσουμε ως προς την οριζόντια ευθεία που περνά από την κορυφή της, παίρνουμε

\[ y=-(x-a)^2+b. \]

Η ανακλώμενη παραβολή τέμνει τον άξονα \(x\) στα σημεία με τετμημένες

\[ x=a\pm\sqrt b. \]

Τα σημεία αυτά είναι τα άκρα οριζόντιας διαμέτρου ενός κύκλου με κέντρο \((a,0)\) και ακτίνα \(\sqrt b\). Τα κατακόρυφα άκρα του ίδιου κύκλου είναι

\[ (a,\sqrt b),\qquad(a,-\sqrt b). \]

Στο μιγαδικό επίπεδο αυτά είναι ακριβώς τα σημεία που αναπαριστούν τις δύο ρίζες

\[ \boxed{a+i\sqrt b\qquad\text{και}\qquad a-i\sqrt b}. \]

Για μια γενική δευτεροβάθμια εξίσωση

\[ Ax^2+Bx+C=0,\qquad A\ne0, \]

διαιρούμε πρώτα με το \(A\) και συμπληρώνουμε τετράγωνο. Έτσι τη μετατρέπουμε στην παραπάνω μονική μορφή και μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια γεωμετρική ιδέα.

Δύο τομές → δύο πραγματικές ρίζες.
Μία επαφή → μία διπλή πραγματική ρίζα.
Καμία τομή → δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →