📊 Κανονική Κατανομή – Βρείτε τη Μέση Τιμή και τη Διακύμανση

📊 Μπορείτε να Βρείτε τη Μέση Τιμή και τη Διακύμανση;

Το βάρος γέννησης \(X\) των μωρών σε μια συγκεκριμένη χώρα ακολουθεί κανονική κατανομή

\[ X\sim N(\mu,\sigma^2). \]

Γνωρίζουμε ότι:

\[ P(X>4)=0{,}05 \]

\[ P(X<2{,}5)=0{,}20. \]

Να υπολογίσετε την αναμενόμενη τιμή \(\mu\) και τη διακύμανση \(\sigma^2\) του βάρους γέννησης.

🔍 Δείτε τη λύση

Τυποποιούμε με

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1). \]

Από την πρώτη πληροφορία έχουμε

\[ P(X>4)=0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad \Phi\!\left(\frac{4-\mu}{\sigma}\right)=0{,}95. \]

Άρα, από τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανομής,

\[ \frac{4-\mu}{\sigma}\approx1{,}645. \]

Αντίστοιχα,

\[ P(X<2{,}5)=0{,}20 \quad\Longrightarrow\quad \Phi\!\left(\frac{2{,}5-\mu}{\sigma}\right)=0{,}20. \]

Επομένως,

\[ \frac{2{,}5-\mu}{\sigma}\approx-0{,}842. \]

Έτσι προκύπτει το σύστημα

\[ 4-\mu=1{,}645\sigma \]

\[ \mu-2{,}5=0{,}842\sigma. \]

Προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις:

\[ 1{,}5=2{,}487\sigma, \]

οπότε

\[ \sigma\approx0{,}603\text{ kg}. \]

Επομένως η διακύμανση είναι

\[ \boxed{\sigma^2\approx0{,}364\text{ kg}^2}. \]

Τέλος,

\[ \mu =4-1{,}645(0{,}603) \approx3{,}008\text{ kg}. \]

Αναμενόμενη τιμή:

\[ \boxed{\mu\approx3{,}01\text{ kg}} \]

Διακύμανση:

\[ \boxed{\sigma^2\approx0{,}364\text{ kg}^2} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →