🔢 Πανψηφιακά τετράγωνα: Όλα τα ψηφία σε μία δύναμη-

Ένας δεκαψήφιος αριθμός ονομάζεται εδώ πανψηφιακός όταν περιέχει καθένα από τα ψηφία

\[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\]

ακριβώς μία φορά — με οποιαδήποτε σειρά. Ακόμη πιο σπάνιο και εντυπωσιακό είναι να αποτελεί και τέλειο τετράγωνο.

Τα παρακάτω δέκα παραδείγματα δημοσιεύθηκαν από το Futility Closet:

\[\begin{aligned} 32043^2&=1026753849\\ 32286^2&=1042385796\\ 33144^2&=1098524736\\ 35172^2&=1237069584\\ 39147^2&=1532487609\\ 45624^2&=2081549376\\ 55446^2&=3074258916\\ 68763^2&=4728350169\\ 83919^2&=7042398561\\ 99066^2&=9814072356 \end{aligned}\]

Κάθε αποτέλεσμα έχει δέκα ψηφία, κανένα δεν επαναλαμβάνεται και κανένα από τα δέκα ψηφία δεν λείπει. Είναι όμως αυτά τα μοναδικά πανψηφιακά τετράγωνα;

Δείτε τον έλεγχο και μια σημαντική διευκρίνιση

Πώς ελέγχουμε έναν αριθμό;

Για παράδειγμα:

\[32043^2=1026753849.\]

Αν ταξινομήσουμε τα ψηφία του αποτελέσματος, παίρνουμε:

\[0123456789.\]

Αυτό είναι ένα απλό και ασφαλές κριτήριο: το δεκαψήφιο \(n^2\) είναι πανψηφιακό αν και μόνο αν η ταξινομημένη συμβολοσειρά των ψηφίων του είναι ακριβώς 0123456789.

Οι δέκα τιμές δεν είναι ο πλήρης κατάλογος

Ο υπολογιστικός έλεγχος όλων των πενταψήφιων θετικών ακεραίων δείχνει ότι υπάρχουν συνολικά 87 αριθμοί \(n\) για τους οποίους το \(n^2\) είναι δεκαψήφιο και πανψηφιακό. Επομένως, οι δέκα παραπάνω ισότητες είναι μια όμορφη επιλογή παραδειγμάτων, όχι όλες οι λύσεις.

Μερικά επιπλέον παραδείγματα είναι:

\[35337^2=1248703569,\]

\[37176^2=1382054976,\]

\[90144^2=8125940736.\]

Γιατί η αναζήτηση είναι πεπερασμένη;
Ένα δεκαψήφιο τετράγωνο είναι μικρότερο από \(10^{10}\), οπότε η τετραγωνική του ρίζα είναι μικρότερη από \(10^5\). Αρκεί λοιπόν να εξετάσουμε τους πενταψήφιους ακεραίους έως το \(99999\).

Ένας σύντομος έλεγχος σε JavaScript

const target = "0123456789";
const solutions = [];

for (let n = 31623; n <= 99999; n++) {
  const square = String(n * n);
  const digits = [...square].sort().join("");

  if (digits === target) {
    solutions.push([n, n * n]);
  }
}

console.log(solutions.length); // 87

Η αριθμητική γοητεία: Δέκα διαφορετικά ψηφία καταφέρνουν να εμφανιστούν ακριβώς μία φορά μέσα σε έναν αριθμό που προκύπτει από την τόσο αυστηρή πράξη του τετραγωνισμού.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →