Για πολλούς αρχαίους Έλληνες συγγραφείς, η μελέτη της φύσης των αριθμών και η πρακτική εκτέλεση πράξεων ήταν δύο συγγενικές αλλά διαφορετικές δραστηριότητες.
Η διάκριση εμφανίζεται καθαρά στην πλατωνική παράδοση. Στον Φίληβο, ο Πλάτων αντιπαραβάλλει τους υπολογισμούς του εμπόρου με εκείνους του φιλοσόφου: και οι δύο χρησιμοποιούν αριθμούς, αλλά δεν επιδιώκουν το ίδιο είδος γνώσης. Ο πρώτος υπολογίζει συγκεκριμένες ποσότητες· ο δεύτερος εξετάζει τον αριθμό ως αφηρημένο αντικείμενο.
Οι αριθμοί ως αντικείμενα γνώσης
Η πρώιμη πυθαγόρεια παράδοση συνέδεσε τους αριθμούς με την τάξη, την αρμονία και τη δομή του κόσμου. Η περίφημη θέση ότι «τα πράγματα είναι αριθμοί» μάς είναι γνωστή κυρίως μέσα από μεταγενέστερες μαρτυρίες, ιδιαίτερα του Αριστοτέλη. Γι’ αυτό χρειάζεται προσοχή όταν αποδίδονται συγκεκριμένες θεωρίες απευθείας στον ίδιο τον Πυθαγόρα.
Το ουσιαστικό πάντως είναι σαφές: οι αριθμοί δεν αντιμετωπίζονταν μόνο ως εργαλεία μέτρησης. Οι σχέσεις τους μπορούσαν να αποκαλύπτουν πρότυπα, όπως οι μουσικές αναλογίες, η διάκριση άρτιου και περιττού και οι σχηματισμοί αριθμών με βότσαλα.
Τέλειοι και φιλικοί αριθμοί
\(28=1+2+4+7+14\)
\(s(284)=220\)
Στο Βιβλίο IX των Στοιχείων, ο Ευκλείδης απέδειξε ότι, αν ο (2^p-1) είναι πρώτος, τότε ο
είναι τέλειος αριθμός. Πρόκειται για ένα εντυπωσιακό πρώιμο γενικό θεώρημα της θεωρίας αριθμών. Πολύ αργότερα αποδείχθηκε ότι κάθε άρτιος τέλειος αριθμός έχει αυτή τη μορφή.
Το ζεύγος 220 και 284 ήταν γνωστό στην ύστερη ελληνική αριθμητική παράδοση και συνδέθηκε συμβολικά με τη φιλία. Στον ισλαμικό κόσμο οι φιλικοί αριθμοί μελετήθηκαν συστηματικότερα — ιδίως από τον Thābit ibn Qurra — και απέκτησαν επίσης αστρολογικές ή φυλακτικές χρήσεις. Αυτές οι μεταγενέστερες πρακτικές δεν πρέπει να αποδίδονται συλλήβδην στους αρχαίους Έλληνες.
Αριθμοί φτιαγμένοι από βότσαλα
Η λέξη ψῆφος σήμαινε βότσαλο ή μικρή πέτρα. Με τέτοιες μονάδες οι αριθμοί μπορούσαν να πάρουν ορατή γεωμετρική μορφή. Οι τριγωνικοί και οι τετράγωνοι αριθμοί μελετήθηκαν ήδη στην πρώιμη ελληνική παράδοση, ενώ η γενικότερη θεωρία των πολυγωνικών αριθμών αναπτύχθηκε σταδιακά από μεταγενέστερους μαθηματικούς.
Η γεωμετρική αναπαράσταση δεν ήταν απλώς διακόσμηση. Έκανε ορατές σχέσεις όπως
Κάθε νέος τετράγωνος αριθμός προκύπτει προσθέτοντας ένα «γνώμονα» από περιττό πλήθος νέων ψηφίδων.
Άρτιοι, περιττοί και η μονάδα
Σε μεταγενέστερες μαρτυρίες για τους Πυθαγορείους, οι αντιθέσεις άρτιο–περιττό, απεριόριστο–πεπερασμένο και θηλυκό–αρσενικό εμφανίζονται σε συμβολικούς πίνακες αντιθέτων. Αυτό δείχνει ότι οι αριθμητικές κατηγορίες αποκτούσαν και φιλοσοφικές σημασίες.
Ιδιαίτερη ήταν και η θέση της μονάδας. Στην αρχή του Βιβλίου VII των Στοιχείων, ο Ευκλείδης ορίζει:
Με αυτόν τον ορισμό το 1 δεν αποτελεί «αριθμό» με την ίδια έννοια όπως το 2 ή το 3, αλλά την αρχή από την οποία συγκροτείται το πλήθος. Πρόκειται για ιστορική έννοια του αριθμού — όχι για τη σημερινή μαθηματική σύμβαση, στην οποία το 1 είναι φυσικός αριθμός.
Από τον Νικόμαχο στο μεσαιωνικό quadrivium
Η επίδραση του Βοήθιου υπήρξε τεράστια, επειδή για μεγάλο μέρος του λατινικού Μεσαίωνα το έργο του ήταν βασική πύλη προς την ελληνική θεωρία των αριθμών. Αυτό δεν σημαίνει ότι υπήρξε επί μία ολόκληρη χιλιετία το μοναδικό ή αμετάβλητο σχολικό εγχειρίδιο.
Πηγές και περαιτέρω ανάγνωση
- Euclid, Elements, Βιβλία VII–IX.
- Nicomachus of Gerasa, Introduction to Arithmetic, μτφρ. M. L. D’Ooge, 1926.
- Carl A. Huffman, «Pythagoreanism», Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Euclid’s Elements, Book VII, Definitions 1–2.
- MAA — The Mathematical Cultures of Medieval Europe.
Η αρχαία αριθμητική ζει ακόμη
Η αρχαία διάκριση δεν επιβιώνει αυτούσια στη σημερινή ορολογία. Επιβιώνει όμως στην ίδια τη μαθηματική πράξη: άλλο είναι να εκτελούμε έναν υπολογισμό και άλλο να αναζητούμε γιατί οι αριθμοί έχουν τις ιδιότητες που έχουν. Το δεύτερο ερώτημα βρίσκεται σήμερα στον πυρήνα της θεωρίας αριθμών.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου