🌊 Ποιο είναι το εμβαδόν ανάμεσα σε δύο ημιτονοειδείς καμπύλες;

Στο σχήμα βλέπουμε δύο από τις πιο γνωστές καμπύλες της Τριγωνομετρίας:

\[ y=\sin x \qquad\text{και}\qquad y=-\sin x. \]

Για

\[ 0\leq x\leq2\pi \]

οι δύο καμπύλες τέμνονται τρεις φορές και σχηματίζουν τις δύο χαρακτηριστικές κίτρινες περιοχές του σχήματος.

🤔 Η πρόκληση

Ποιο είναι το συνολικό εμβαδόν της κίτρινης περιοχής που περικλείεται ανάμεσα στις δύο καμπύλες;

💡 Μπορείς να το υπολογίσεις εκμεταλλευόμενος πρώτα τη συμμετρία του σχήματος;

🔍 Εμφάνιση λύσης

1️⃣ Πού τέμνονται οι δύο καμπύλες;

Τα σημεία τομής προκύπτουν από την εξίσωση

\[ \sin x=-\sin x. \]

Άρα

\[ 2\sin x=0 \]

και επομένως, στο διάστημα \(0\leq x\leq2\pi\),

\[ \boxed{x=0,\;\pi,\;2\pi}. \]

Έτσι δημιουργούνται δύο ίσες περιοχές:

\[ [0,\pi] \qquad\text{και}\qquad [\pi,2\pi]. \]

2️⃣ Υπολογίζουμε το πρώτο εμβαδόν

Στο διάστημα

\[ 0\leq x\leq\pi, \]

η επάνω καμπύλη είναι η

\[ y=\sin x, \]

ενώ η κάτω είναι η

\[ y=-\sin x. \]

Η κατακόρυφη απόστασή τους είναι επομένως

\[ \sin x-(-\sin x)=2\sin x. \]

Άρα το εμβαδόν της πρώτης κίτρινης περιοχής είναι

\[ A_1=\int_0^\pi 2\sin x\,dx. \]

Υπολογίζουμε:

\[ A_1 = 2\left[-\cos x\right]_0^\pi \] \[ = 2\left(-\cos\pi+\cos0\right) \] \[ =2(1+1) \] \[ \boxed{A_1=4}. \]

3️⃣ Εκμεταλλευόμαστε τη συμμετρία

Η δεύτερη περιοχή, από \(\pi\) έως \(2\pi\), έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν.

Επομένως

\[ A_2=4. \]

Το συνολικό κίτρινο εμβαδόν είναι:

\[ A=A_1+A_2 \] \[ A=4+4 \] \[ \boxed{A=8} \] τετραγωνικές μονάδες.

✨ Και με ένα μόνο ολοκλήρωμα;

Μπορούμε να περιγράψουμε ολόκληρη την περιοχή ακόμη πιο συμπυκνωμένα.

Η απόσταση των δύο καμπυλών είναι

\[ 2|\sin x|. \]

Επομένως:

\[ A= 2\int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx. \]

Επειδή

\[ \int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx=4, \]

παίρνουμε αμέσως:

\[ \boxed{A=8}. \]

💡 Η όμορφη ιδέα

Το πρόβλημα συνδέει με πολύ απλό τρόπο την Τριγωνομετρία, τη συμμετρία και το ορισμένο ολοκλήρωμα. Το σχήμα μάς επιτρέπει μάλιστα να υπολογίσουμε μόνο τον έναν από τους δύο «λοβούς» και να διπλασιάσουμε το αποτέλεσμα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →