🔺Το Τρίγωνο των Ψηφίων – Πού Κρύβεται ο Πρώτος Πρώτος Αριθμός;

Ξεκινάμε με έναν εξαιρετικά απλό κανόνα: γράφουμε διαδοχικά τα ψηφία \(1,2,\ldots,9,0\) και, μόλις φτάσουμε στο \(0\), αρχίζουμε ξανά από το \(1\).

Κάθε νέα γραμμή περιέχει ένα ψηφίο περισσότερο από την προηγούμενη. Το ερώτημα φαίνεται απλό: πότε θα εμφανιστεί για πρώτη φορά ένας πρώτος αριθμός;

🔢 Το πρόβλημα

Κατασκευάζουμε το ακόλουθο αριθμητικό τρίγωνο:

1
12
123
1234
12345
123456
1234567
12345678
123456789
1234567890
12345678901
123456789012
⋮

Ποιος είναι ο πρώτος πρώτος αριθμός που εμφανίζεται και σε ποια γραμμή βρίσκεται;

🔁 Ποιος είναι ακριβώς ο κανόνας;

Μετά το \(9\) δεν γράφουμε τον αριθμό \(10\). Γράφουμε το ψηφίο \(0\) και στη συνέχεια αρχίζουμε πάλι από το \(1\):

1234567890 1234567890 1234567890 …

Η \(n\)-οστή γραμμή αποτελείται από τα πρώτα \(n\) ψηφία αυτής της άπειρης περιοδικής ακολουθίας.

Αν συμβολίσουμε με \(A_n\) τον αριθμό της \(n\)-οστής γραμμής, τότε:

\[ A_1=1, \qquad A_n=10A_{n-1}+d_n, \]

όπου \(d_n\) είναι διαδοχικά τα ψηφία

\[ 1,2,\ldots,9,0,1,2,\ldots \]

🧹 Πώς αποκλείονται πολλές γραμμές;

Δεν χρειάζεται να ελέγχουμε όλους τους αριθμούς από την αρχή. Απλά κριτήρια διαιρετότητας αποκλείουν αμέσως πολλές γραμμές.

1. Τελευταίο ψηφίο.
Αν η γραμμή τελειώνει σε \(0,2,4,6\) ή \(8\), ο αριθμός είναι άρτιος. Αν τελειώνει σε \(5\), διαιρείται με το \(5\).

2. Άθροισμα ψηφίων.
Μία ολόκληρη περίοδος έχει άθροισμα

\[ 1+2+\cdots+9+0=45, \]

το οποίο διαιρείται με το \(3\). Επομένως το κριτήριο διαιρετότητας με το \(3\) αποκλείει επιπλέον υποψηφίους.

Για \(n>1\), ο συνδυασμός αυτών των στοιχειωδών φίλτρων αφήνει ως πιθανούς δείκτες μόνο εκείνους που ικανοποιούν:

\[ \boxed{n\equiv1\ \text{ή}\ 7\pmod{10}} \]

Αυτό, φυσικά, δεν σημαίνει ότι οι αντίστοιχοι αριθμοί είναι πρώτοι. Σημαίνει μόνο ότι δεν αποκλείονται αμέσως από τη διαιρετότητα με \(2\), \(3\) ή \(5\).

🔍 Δείτε την απάντηση

Ο πρώτος εμφανίζεται στη γραμμή 171

Οι αριθμοί που σχηματίζονται στις γραμμές \(1\) έως \(170\) είναι είτε σύνθετοι είτε, στην πρώτη γραμμή, ίσοι με \(1\).

Η πρώτη γραμμή που δίνει πρώτο αριθμό είναι η 171η. Ο αριθμός έχει 171 ψηφία:

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

Αποτελείται από 17 πλήρεις επαναλήψεις του

\[ 1234567890 \]

και ένα τελευταίο ψηφίο \(1\).

Προσοχή: Το γεγονός ότι ένας αριθμός δεν διαιρείται με \(2\), \(3\) ή \(5\) δεν αρκεί για να αποδείξει ότι είναι πρώτος. Τα απλά κριτήρια διαιρετότητας χρησιμεύουν μόνο ως αρχικά φίλτρα· για τους υποψηφίους που απομένουν απαιτείται πλήρης έλεγχος πρώτου.

🌌 Γιατί είναι τόσο ενδιαφέρον;

Το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών μάς λέει ότι κοντά σε έναν μεγάλο αριθμό \(N\), η πυκνότητα των πρώτων είναι περίπου

\[ \frac{1}{\ln N}. \]

Ένας \(n\)-ψήφιος αριθμός έχει μέγεθος περίπου \(10^n\), οπότε ως πολύ χονδρική ευρετική εκτίμηση η πιθανότητα ένας αριθμός αυτού του μεγέθους να είναι πρώτος είναι της τάξης

\[ \frac{1}{n\ln 10}. \]

Αυτό όμως είναι μόνο μια γενική στατιστική εικόνα για τους πρώτους αριθμούς. Δεν αποτελεί εξήγηση ούτε απόδειξη για το γιατί οι συγκεκριμένες πρώτες 170 γραμμές της ιδιαίτερα δομημένης ακολουθίας μας δεν είναι πρώτες.

⚠️ Μια σημαντική λεπτομέρεια

Δεν πρέπει να συγχέουμε την παραπάνω κατασκευή με την ακολουθία που προκύπτει αν ενώσουμε διαδοχικά τους φυσικούς αριθμούς:

1, 12, 123, 1234, …, 12345678910, 1234567891011, …

Εκεί, μετά το \(9\), προστίθεται ολόκληρος ο αριθμός \(10\), κατόπιν ο \(11\), ο \(12\) κ.ο.κ.

Στο δικό μας πρόβλημα, αντίθετα, έχουμε μια περιοδική ακολουθία ψηφίων:

\[ 1234567890\,1234567890\,1234567890\ldots \]

💡 Από ένα απλό μοτίβο σε ένα πρόβλημα πρώτων αριθμών

Το Τρίγωνο των Ψηφίων ξεκινά με έναν κανόνα που θα μπορούσε να εξηγήσει ακόμη και ένα παιδί: γράφουμε ένα ψηφίο κάθε φορά και, μετά το \(0\), επαναλαμβάνουμε.

Όμως το ερώτημα «πότε εμφανίζεται για πρώτη φορά πρώτος αριθμός;» οδηγεί γρήγορα από τα στοιχειώδη κριτήρια διαιρετότητας στον υπολογιστικό έλεγχο πολύ μεγάλων ακεραίων.

Η απλότητα ενός κανόνα δεν εγγυάται καθόλου την απλότητα της απάντησης.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα