Αλλαγή Μεταβλητής με... Μανταρίνια 🍊 Γιατί το Όνομα της Μεταβλητής Δεν Έχει Σημασία

Στην αλλαγή μεταβλητής ενός ολοκληρώματος έχουμε συνηθίσει να γράφουμε κάτι σαν:

\[ t=g(x). \]

Αλλά υπάρχει κάποιος μαθηματικός λόγος που η νέα μεταβλητή πρέπει να ονομάζεται \(t\);

Φυσικά όχι. Θα μπορούσαμε να την ονομάσουμε \(u\), \(y\), \(z\), \(m\) ή σχεδόν όπως θέλουμε. Και, για να γίνει η ιδέα απολύτως σαφής, κάποιος αποφάσισε να χρησιμοποιήσει ως «μεταβλητή» ακόμη και... ένα μανταρίνι.

Η μεταβλητή δεν είναι η ίδια η λέξη ή το γράμμα.

Το σύμβολο είναι απλώς μια ετικέτα για το μαθηματικό αντικείμενο που χρησιμοποιούμε.

Αν, για παράδειγμα, έχουμε

\[ \int 2x\cos(x^2)\,dx \]

συνήθως θέτουμε

\[ t=x^2, \qquad dt=2x\,dx, \]

και επομένως

\[ \int 2x\cos(x^2)\,dx = \int\cos t\,dt = \sin t+C. \]

Τίποτε όμως δεν αλλάζει αν αντί για \(t\) χρησιμοποιήσουμε \(u\):

\[ u=x^2, \qquad du=2x\,dx. \]

Η διαδικασία και το αποτέλεσμα παραμένουν ακριβώς τα ίδια.

Η μεταβλητή είναι ένας «κενός χώρος»

Ο Miguel Ángel Morales στο Gaussianos δίνει μια πολύ καλή διδακτική περιγραφή: μια μεταβλητή δεν είναι ένα γράμμα, αλλά ένας χώρος που μπορούμε να γεμίσουμε. Το γράμμα υπάρχει απλώς για να μη μένει αυτός ο χώρος κενός.

Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τους μαθητές, επειδή για πολλά χρόνια έχουν συνηθίσει να ταυτίζουν σχεδόν αυτόματα το \(x\) με την «άγνωστη ποσότητα». Στην πραγματικότητα, το όνομα του συμβόλου είναι δευτερεύον· εκείνο που έχει σημασία είναι ο ρόλος που παίζει μέσα στη μαθηματική σχέση.

\(x\), \(t\), \(u\), \(z\)... ή ακόμη και 🍊.

Το όνομα αλλάζει.
Τα Μαθηματικά όχι.

Η αρχική εικόνα που ενέπνευσε την ανάρτηση του Gaussianos περιείχε μάλιστα μερικά λάθη στους υπολογισμούς. Αυτό όμως δεν αλλάζει το βασικό και πολύ χρήσιμο διδακτικό μήνυμα: δεν πρέπει να συγχέουμε ένα μαθηματικό αντικείμενο με το σύμβολο που επιλέξαμε για να το ονομάσουμε.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →