Γρίφοι

🧊 Μια «Πυραμίδα» από Μοναδιαίους Κύβους

Μαυροπίνακας με λευκή κιμωλία: πυραμίδα από κύβους — βάση 3x4, μέση 2x2, κορυφή 1 κύβος, ισομετρικό σχέδιο. Αριστερά ξύλινο e στο πλαίσιο, κάτω δεξιά γλαστράκι με σημαιάκι e και ετικέτα eisatopon.gr

Η «πυραμίδα» του σχήματος είναι κατασκευασμένη από τρεις στρώσεις κύβων όγκου \(1\,\text{cm}^3\).

Το συνολικό εμβαδόν της επιφάνειάς της είναι:

\[ 42\,\text{cm}^2. \]

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο κατασκευάστηκε μια μεγαλύτερη «πυραμίδα», της οποίας το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας είναι:

\[ 2352\,\text{cm}^2. \]

Πόσες στρώσεις κύβων περιλαμβάνει η μεγαλύτερη πυραμίδα;

📚
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Αναρτήθηκε από στις
Ετικέτες ,

Σχετικά άρθρα

1 σχόλιο:

  1. PAPAVERI486 Σεπτεμβρίου 2026 στις 7:51 μ.μ.

    Η πυραμίδα με συνολικό εμβαδόν επιφάνειας 2352 cm² έχει 24 στρώσεις.
    Αν μια τέτοιου είδους πυραμίδα έχει n στρώσεις από μοναδιαίους κύβους, το συνολικό εμβαδόν της επιφάνειάς της προκύπτει από τον εξής γενικό τύπο:
    1. Κάτοψη (από πάνω): n^2 έδρες.
    2. Βάση (από κάτω): n^2 έδρες.
    3. 4 Πλευρές: Κάθε πλευρά έχει 1 + 2 + 3 +...+ n =n*(n+1)/2 έδρες.
    Για τις 4 πλευρές είναι: 4* n*(n+1)/2=2n*(n+1)=2n^2 + 2n έδρες.
    Συνολικό Εμβαδόν:
    E(n)=n^2+n^2+2n^2+2n=4n^2+2n (1)
    Επίλυση της Εξίσωσης
    Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν είναι 2352cm^2, οπότε σχηματίζουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση:
    4n^2+2n=2352 (2)
    Διαιρούμε όλους τους όρους με το 2:
    4n^2/2+2n/2=2352/2 === 2n^2+n=1.176 === 2n^2+n-1.176=0 (3)
    n=(-1±sqrt[(-1)^2-4*2*(-176)])/2*2 === n=(-1±sqrt[1+9.408])/4 ===
    n=(-1±sqrt[9.409])/4 === n=(-1±97)/4
    n1=(-1+97)/4 === n1=96/4 === n=24 στρώσεις (4) (ρίζα αποδεκτή)
    Η ρίζα n2 είναι αρνητική και μη αποδεκτή.
    Αυτή η μεγαλύτερη πυραμίδα των 24 στρώσεων αποτελείται από συνολικά 4.900 κύβους.
    Πώς υπολογίζεται:
    Κάθε στρώση k (από την κορυφή προς τη βάση) περιέχει έναν τετραγωνικό αριθμό κύβων k^2.
    • 1η στρώση: 1^2 = 1 κύβος
    • 2η στρώση: 2^2 = 4 κύβους
    • 3η στρώση: 3^2 = 9 κύβους
    • ...
    • 24η στρώση: 24^2 = 576 κύβους
    Για να βρούμε το σύνολο όλων των κύβων, χρησιμοποιούμε τον μαθηματικό τύπο για το άθροισμα τετραγώνων:
    S=[n*(n+1)*(2n+1)]/6
    Αντικαθιστούμε το n = 24 κι’ έχουμε:
    S=[n*(n+1)*(2n+1)]/6 === S=[24*(24+1)*(2*24+1)]/6 ===
    S=[(24*25)*(48+1)]/6 === S=4*25*49 === S=100*49 === S=4.900 (5)

    ΑπάντησηΔιαγραφή