🪙 Πώς Κάνουμε Δίκαιη Κλήρωση με ένα «Πειραγμένο» Νόμισμα;

Η ρίψη ενός νομίσματος είναι ίσως ο απλούστερος τρόπος για να πάρουμε μια τυχαία απόφαση ανάμεσα σε δύο επιλογές.

Υπάρχει όμως μια βασική προϋπόθεση: το νόμισμα πρέπει να είναι δίκαιο, δηλαδή η κορώνα και τα γράμματα να έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης.

Τι γίνεται όμως αν το νόμισμα είναι «πειραγμένο»;

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα μεροληπτικό νόμισμα για να πραγματοποιήσουμε μια απολύτως δίκαιη κλήρωση;

Η απάντηση είναι ναι — και μάλιστα χωρίς να χρειάζεται να γνωρίζουμε πόσο μεροληπτικό είναι το νόμισμα.

Η έξυπνη αυτή μέθοδος αποδίδεται στον μεγάλο μαθηματικό John von Neumann.

Η ιδέα του von Neumann

Έστω ότι η πιθανότητα να εμφανιστεί κορώνα είναι \[ P(K)=p, \] οπότε η πιθανότητα να εμφανιστούν γράμματα είναι \[ P(\Gamma)=1-p. \]

Ρίχνουμε το ίδιο νόμισμα δύο φορές.

Οι κανόνες είναι απλοί:

① Αν εμφανιστεί Κορώνα–Κορώνα, αγνοούμε το αποτέλεσμα και ξαναρχίζουμε.

② Αν εμφανιστεί Γράμματα–Γράμματα, επίσης αγνοούμε το αποτέλεσμα και ξαναρχίζουμε.

③ Αν εμφανιστεί Κορώνα–Γράμματα, κερδίζει ο παίκτης Α.

④ Αν εμφανιστεί Γράμματα–Κορώνα, κερδίζει ο παίκτης Β.

Γιατί λειτουργεί;

Οι διαδοχικές ρίψεις θεωρούνται ανεξάρτητες. Επομένως,

\[ P(K\Gamma)=p(1-p). \]

Αντίστοιχα,

\[ P(\Gamma K)=(1-p)p. \]

Αλλά \[ p(1-p)=(1-p)p. \]

Άρα \[ \boxed{P(K\Gamma)=P(\Gamma K)}. \]

Οι δύο αποδεκτές ακολουθίες έχουν ακριβώς την ίδια πιθανότητα.

Επομένως, όταν τελικά εμφανιστεί μία από αυτές, κάθε παίκτης έχει πιθανότητα \[ \boxed{\frac12} \] να κερδίσει.

Το εντυπωσιακό είναι ότι δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε την τιμή του \(p\). Το νόμισμα μπορεί να προτιμά έντονα τη μία πλευρά και

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →