✖️ Η Εποχή που ο Πολλαπλασιασμός Είχε Οκτώ Μεθόδους

Σήμερα μαθαίνουμε έναν βασικό γραπτό αλγόριθμο. Στην Αναγέννηση, όμως, διαφορετικές διατάξεις αριθμών συναγωνίζονταν για το ποια ήταν ευκολότερη, ταχύτερη ή κομψότερη.

Το εντυπωσιακό δεν είναι ότι οι άνθρωποι πολλαπλασίαζαν διαφορετικά. Είναι ότι οι ίδιες επιμέρους πράξεις —γινόμενα ψηφίων, μεταφορές και προσθέσεις— μπορούσαν να οργανωθούν σε εντελώς διαφορετικά οπτικά σχήματα.

Ο Luca Pacioli και οι οκτώ δρόμοι

Το 1494 ο Ιταλός μαθηματικός και Φραγκισκανός μοναχός Luca Pacioli εξέδωσε στη Βενετία τη Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità. Το έργο συνόψιζε μεγάλο μέρος της πρακτικής μαθηματικής γνώσης των σχολών του άβακα και προοριζόταν ιδιαίτερα για εμπόρους, τεχνίτες και μαθητευόμενους.

Στην ενότητα του πολλαπλασιασμού παρουσίασε οκτώ διαφορετικές «μορφές» ή κανόνες. Η γραφή των ονομάτων διαφέρει κάπως στις νεότερες μεταγραφές, όμως συναντούμε συνήθως τις ακόλουθες ονομασίες:

1 · Per scacchieriΗ μέθοδος της «σκακιέρας», συγγενική με τον σημερινό γραπτό πολλαπλασιασμό. Τοπικά λεγόταν επίσης bericuocolo ή organetto.

2 · Per castelluccioΔιάταξη των επιμέρους γινομένων που θύμιζε μικρό κάστρο.

3 · Per colonnaΟργάνωση του υπολογισμού σε κατακόρυφες στήλες.

4 · Per crocettaΣταυρωτός πολλαπλασιασμός των ψηφίων, από τα δεξιά προς τα αριστερά.

5 · Per quadrilateroΜια διαφορετική τετραπλευρική διάταξη των μερικών γινομένων.

6 · Per gelosiaΟ γνωστός πολλαπλασιασμός με πλέγμα και διαγώνιες.

7 · Per repiegoΥπολογισμός μέσω κατάλληλης ανάλυσης ή αναδίπλωσης των παραγόντων.

8 · Per scapezzoΔιάσπαση του πολλαπλασιασμού σε ευκολότερα επιμέρους γινόμενα.

Δεν επρόκειτο πάντοτε για οκτώ διαφορετικές μαθηματικές ιδέες. Ορισμένες μέθοδοι διέφεραν κυρίως στη χωρική διάταξη, στη σειρά εκτέλεσης ή στον τρόπο καταγραφής των κρατουμένων. Τα ίδια ονόματα μπορούσαν επίσης να αλλάζουν από πόλη σε πόλη.

Η gelosia: ο πολλαπλασιασμός πίσω από το «παράθυρο»

Στη μέθοδο gelosia, γνωστή σήμερα ως lattice multiplication, σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο πλέγμα. Κάθε κελί χωρίζεται διαγώνια: οι δεκάδες του γινομένου γράφονται στη μία πλευρά και οι μονάδες στην άλλη. Στο τέλος προστίθενται οι αριθμοί κατά μήκος των διαγωνίων.

0│8

1│2

1│6

1│2

1│8

2│4

Η ονομασία συνδέεται με τη gelosia, τη δικτυωτή γρίλια παραθύρου. Η μέθοδος ήταν γνωστή πριν από τον Pacioli και συναντάται σε μεσαιωνικές αραβικές και ευρωπαϊκές αριθμητικές παραδόσεις. Η ακριβής αρχική της προέλευση δεν είναι βέβαιη.

Τον 17ο αιώνα η ίδια λογική των διαγώνια χωρισμένων γινομένων ενσωματώθηκε στις αριθμητικές ράβδους του John Napier. Οι «ράβδοι του Napier» μετέτρεπαν μεγάλο μέρος του πολλαπλασιασμού σε ανάγνωση πινάκων και πρόσθεση κατά διαγώνιες.

Scacchieri, bericuocolo και organetto

Η μέθοδος per scacchieri ήταν διαφορετική από τη gelosia, παρότι και τα δύο ονόματα παραπέμπουν σε οπτικά μοτίβα. Αντιστοιχούσε περίπου στον αλγόριθμο που εξελίχθηκε στον σημερινό γραπτό πολλαπλασιασμό, με τα επιμέρους γινόμενα τοποθετημένα σε μετατοπισμένες σειρές.

Σε διαφορετικές ιταλικές πόλεις η ίδια ή πολύ συγγενική διάταξη ονομαζόταν per bericuocolo ή per organetto. Το δεύτερο όνομα παρέπεμπε στη μορφή των παράλληλων αυλών ενός μικρού οργάνου. Οι ονομασίες δείχνουν πόσο οπτική ήταν η διδασκαλία της αριθμητικής: οι μαθητές θυμούνταν το σχήμα της πράξης όσο και τους κανόνες της.

Η crocetta: τα ψηφία πολλαπλασιάζονται σταυρωτά

Στη μέθοδο crocetta τα ψηφία συνδυάζονται σταυρωτά. Για δύο διψήφιους αριθμούς, η λογική είναι η ίδια με την ταυτότητα:

(10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd

Πρώτα υπολογίζεται το δεξιότερο γινόμενο (bd), έπειτα το σταυρωτό άθροισμα (ad+bc) και τέλος το (ac), με τα απαραίτητα κρατούμενα. Η μέθοδος μπορεί να είναι γρήγορη για όποιον την έχει εξασκήσει, αλλά απαιτεί μεγαλύτερη νοητική συγκέντρωση επειδή λιγότερα ενδιάμεσα αποτελέσματα παραμένουν ορατά στο χαρτί.

Ο αρχαίος δρόμος: διπλασιασμός και δυαδική ανάλυση

Πολύ πριν από τις αναγεννησιακές σχολές του άβακα, οι Αιγύπτιοι εκτελούσαν πολλαπλασιασμούς με διαδοχικούς διπλασιασμούς. Η μέθοδος βασίζεται στην ανάλυση ενός παράγοντα σε άθροισμα δυνάμεων του 2 — με σύγχρονους όρους, στη δυαδική του αναπαράσταση.

Παράδειγμα: (17\times15)

Δύναμη του 2	Διπλασιασμοί του 17
1	17
2	34
4	68
8	136

15=8+4+2+1
136+68+34+17=255

Μια συγγενική εκδοχή χρησιμοποιεί ταυτόχρονα υποδιπλασιασμό του ενός παράγοντα και διπλασιασμό του άλλου, διαγράφοντας τις γραμμές όπου ο πρώτος αριθμός είναι άρτιος. Σήμερα είναι γνωστή ως αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός ή «ρωσικός πολλαπλασιασμός των χωρικών».

Η ονομασία «ρωσικός» είναι ιστορικά θολή. Η τεχνική είναι πολύ αρχαιότερη από τη νεότερη Ρωσία και δεν υπάρχει επαρκής τεκμηρίωση για τον συχνά επαναλαμβανόμενο ισχυρισμό ότι εξακολουθεί να χρησιμοποιείται από ρωσικές αγροτικές κοινότητες.

Γιατί επικράτησε η σημερινή μέθοδος;

Η gelosia ήταν καθαρή και αξιόπιστη, αλλά απαιτούσε την κατασκευή πλέγματος. Η crocetta μπορούσε να είναι γρήγορη, αλλά επιβάρυνε τη μνήμη. Ο διπλασιασμός χρειαζόταν μόνο πρόσθεση και υποδιπλασιασμό, όμως δημιουργούσε περισσότερες γραμμές.

Η μέθοδος με μετατοπισμένα επιμέρους γινόμενα πρόσφερε έναν αποτελεσματικό συμβιβασμό: μικρή προετοιμασία, εύκολη διδασκαλία, εμφανή ενδιάμεσα βήματα και καλή προσαρμογή στο χαρτί και στην τυπογραφία. Δεν επικράτησε επειδή ήταν η μόνη σωστή· επικράτησε επειδή ταίριαξε καλύτερα στα μέσα γραφής και στους θεσμούς εκπαίδευσης της νεότερης Ευρώπης.

Πηγές και περαιτέρω ανάγνωση

1. Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità, Βενετία, 1494.
2. David Eugene Smith, History of Mathematics, τόμος II, Ginn and Company, 1925.
3. Max Planck Institute — Pacioli, Summa de arithmetica.
4. OpenLearn — John Napier and lattice multiplication.

Δεν άλλαξε ο πολλαπλασιασμός· άλλαξε η οργάνωσή του

Όλες αυτές οι μέθοδοι καταλήγουν στην ίδια αριθμητική αλήθεια. Διαφέρουν όμως στον τρόπο με τον οποίο μοιράζουν την εργασία ανάμεσα στο χαρτί, τη μνήμη και το μάτι. Η ιστορία τους θυμίζει ότι ένας αλγόριθμος δεν είναι απλώς κανόνας: είναι και τρόπος να οργανώνουμε τη σκέψη.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →