⚙️ Ο τροχός που δεν μπορεί να γυρίζει για πάντα

Οι μπάλες στα δεξιά βρίσκονται μακρύτερα από τον άξονα. Επομένως καθεμία τους ασκεί μεγαλύτερη ροπή από μια αντίστοιχη μπάλα στα αριστερά.

Άρα ο τροχός θα έπρεπε να περιστρέφεται για πάντα. Σωστά;

Δυστυχώς για τον επίδοξο εφευρέτη της αέναης κίνησης, στην αριστερή και στην κάτω πλευρά βρίσκονται περισσότερες μπάλες. Είναι όμως αυτό από μόνο του αρκετό για να εξηγήσει την αποτυχία;

Δείτε γιατί η μηχανή δεν λειτουργεί

Δεν μετράμε μπάλες — αθροίζουμε ροπές

Η ροπή μιας μπάλας βάρους \(mg\) ως προς τον άξονα είναι:

\[\vec{\tau}_i=\vec r_i\times m\vec g.\]

Για έναν κατακόρυφο τροχό, το μέτρο και η φορά της βαρυτικής ροπής καθορίζονται από την οριζόντια απόσταση \(x_i\) της μπάλας από τον άξονα. Η συνολική ροπή είναι:

\[\tau_{\mathrm{ολ}}=-mg\sum_i x_i.\]

Άρα το ότι οι δεξιές μπάλες έχουν μεγαλύτερους μοχλοβραχίονες δεν αρκεί. Ούτε αρκεί από μόνο του ότι οι αριστερές είναι περισσότερες. Χρειάζεται να συγκριθούν τα αθροίσματα όλων των προσημασμένων μοχλοβραχιόνων.

Ισοδύναμη εικόνα: Όλες οι επιμέρους ροπές μπορούν να αντικατασταθούν από το συνολικό βάρος του συστήματος που δρα στο κέντρο μάζας. Αν το κέντρο μάζας βρίσκεται ακριβώς κάτω από τον άξονα, η βαρυτική ροπή είναι μηδενική.

Και αν υπάρχει στιγμιαία ανισορροπία;

Τότε ο τροχός μπορεί πράγματι να αρχίσει να κινείται. Καθώς όμως περιστρέφεται, το κέντρο μάζας κατεβαίνει προς μια θέση μικρότερης δυναμικής ενέργειας. Εκεί η ροπή μηδενίζεται και ο τροχός σταματά ή ταλαντώνεται γύρω από τη θέση ισορροπίας.

Για να διατηρούνται οι δεξιοί βραχίονες μακριοί και οι αριστεροί κοντοί σε κάθε νέα θέση, οι μπάλες πρέπει να μετακινούνται ακτινικά. Αυτή η αναδιάταξη απαιτεί έργο. Στον ιδανικό κύκλο, η ενέργεια που κερδίζεται κατά την κάθοδο επιστρέφεται ολόκληρη για την ανύψωση και την επαναφορά των βαρών:

\[\oint \tau\,d\theta=0.\]

Στον πραγματικό μηχανισμό, οι τριβές στους άξονες, οι κρούσεις των βραχιόνων και η αντίσταση του αέρα αφαιρούν επιπλέον ενέργεια. Έτσι κάθε κίνηση τελικά σβήνει.

Μεγαλύτερη ροπή δεξιά;
Ίσως στιγμιαία, όχι σε ολόκληρο τον κύκλο.

Περισσότερα βάρη αριστερά;
Χρήσιμη παρατήρηση, αλλά όχι πλήρης απόδειξη χωρίς τις αποστάσεις.

Αιώνια παραγωγή έργου;
Αδύνατη χωρίς εξωτερική πηγή ενέργειας.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →