π️⃣ Μια Πανέμορφη Συμμετρική Φόρμουλα για το π

Ο αριθμός \(\pi\) εμφανίζεται σε αμέτρητες σειρές, γινόμενα και ολοκληρώματα. Μία από τις πιο κομψές αναπαραστάσεις του συνδυάζει ένα άπειρο γινόμενο με ένα άπειρο άθροισμα:

\[ \boxed{ \pi= \frac{\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{1}{4n^2-1}\right)} {\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2-1}} } \]

Η ταυτότητα παρουσιάστηκε από τον μαθηματικό Jonathan Sondow στο Math Horizons το 1997 και είναι γνωστή ως μια «συμμετρική φόρμουλα» για το \(\pi\).

Το όμορφο είναι ότι τα δύο μέρη της κρύβουν γνωστά μαθηματικά αποτελέσματα.

Για το άθροισμα έχουμε:

\[ \frac{1}{4n^2-1} = \frac12 \left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right), \]

οπότε πρόκειται για τηλεσκοπική σειρά και

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1} = \frac12. \]

Από την άλλη,

\[ 1+\frac{1}{4n^2-1} = \frac{4n^2}{4n^2-1}, \]

και επομένως το γινόμενο γίνεται το περίφημο γινόμενο του Wallis:

\[ \prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{1}{4n^2-1}\right) = \frac{\pi}{2}. \]

Άρα αμέσως:

\[ \boxed{ \frac{\pi/2}{1/2}=\pi } \]

Μια εξαιρετικά απλή ιδέα: ένα κλασικό άπειρο γινόμενο και μια τηλεσκοπική σειρά συναντιούνται για να δώσουν το \(\pi\).

📚 Αναφορά: Jonathan Sondow, Problem 88: A symmetric formula for pi, Math Horizons 5, September 1997, pp. 32, 34.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →