🎨 Πράσινο ή πορτοκαλί; Ένα πρόβλημα εμβαδών χωρίς διαστάσεις

🎨 Πράσινο ή πορτοκαλί; Ένα παράξενο πρόβλημα εμβαδών

Το γραφείο μου είναι τόσο ξεθωριασμένο, που αποφάσισα να το βάψω.

Το ορθογώνιο σχήμα χωρίζεται, όπως φαίνεται στην εικόνα, σε πράσινες, μωβ, μπλε και πορτοκαλί περιοχές.

Ξέρω μόνο ένα πράγμα:

🟢 Η συνολική πράσινη περιοχή έχει εμβαδόν \[ 0{,}23\ \text{m}^2. \]

Δεν γνωρίζουμε ούτε το μήκος ούτε το πλάτος του ορθογωνίου. Δεν γνωρίζουμε επίσης καμία από τις πλευρές ή τις γωνίες των τριγώνων.

🤔 Η πρόκληση

Ποιο είναι το συνολικό εμβαδόν της πορτοκαλί περιοχής;

💡 Υπόδειξη: Κοίτα τα δύο μεγάλα τρίγωνα που κρύβονται μέσα στο σχήμα.

🔍 Εμφάνιση λύσης

1️⃣ Τα δύο κρυμμένα τρίγωνα

Στο σχήμα υπάρχουν δύο μεγάλα τρίγωνα.

Το πρώτο έχει ως βάση ολόκληρη την κάτω πλευρά του ορθογωνίου και η απέναντι κορυφή του βρίσκεται στην επάνω πλευρά.

Επομένως έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος με το ορθογώνιο και άρα το εμβαδόν του είναι ακριβώς το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου:

\[ E_1=\frac12E_{\text{ορθ}}. \]

Το δεύτερο τρίγωνο έχει ως βάση ολόκληρη τη δεξιά πλευρά του ορθογωνίου και την απέναντι κορυφή του στην αριστερή πλευρά.

Για τον ίδιο λόγο:

\[ E_2=\frac12E_{\text{ορθ}}. \]

Άρα:

\[ E_1+E_2=E_{\text{ορθ}}. \]

2️⃣ Τι συμβαίνει όταν τα δύο τρίγωνα επικαλύπτονται;

Η πορτοκαλί περιοχή είναι ακριβώς το κοινό μέρος των δύο τριγώνων.

Όταν λοιπόν προσθέτουμε τα εμβαδά των δύο τριγώνων, την πορτοκαλί περιοχή τη μετράμε δύο φορές.

Από την άλλη πλευρά, η πράσινη περιοχή βρίσκεται έξω και από τα δύο τρίγωνα, επομένως δεν τη μετράμε καθόλου.

💡 Η κρίσιμη παρατήρηση

Το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν ολόκληρου του ορθογωνίου. Επομένως, όση επιφάνεια μετρήθηκε δύο φορές πρέπει να είναι ίση με όση επιφάνεια δεν μετρήθηκε καθόλου.

Άρα:

\[ \boxed{E_{\text{πορτοκαλί}} = E_{\text{πράσινο}}}. \]

3️⃣ Η απάντηση

Αφού η πράσινη περιοχή έχει εμβαδόν

\[ E_{\text{πράσινο}}=0{,}23\ \text{m}^2, \]

τότε και η πορτοκαλί περιοχή έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν:

🎯 Απάντηση \[ \boxed{E_{\text{πορτοκαλί}}=0{,}23\ \text{m}^2} \]

✨ Το όμορφο σημείο του προβλήματος

Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε καμία διάσταση του γραφείου και καμία γωνία του σχήματος. Η απάντηση προκύπτει αποκλειστικά από το γεγονός ότι καθένα από τα δύο μεγάλα τρίγωνα καταλαμβάνει το μισό εμβαδόν του ορθογωνίου.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →