🔢 Πεντάρια που Παράγουν Μόνο Άσσους

🔍 Ένα μοτίβο

Παρατηρήστε:

\[ 6^2-5^2=11,\quad 56^2-55^2=111,\quad 556^2-555^2=1111,\quad 5556^2-5555^2=11111,\quad 55556^2-55555^2=111111 \]

Κάθε φορά, δύο διαδοχικοί αριθμοί —ένας με \(n\) πεντάρια που τελειώνει σε 6, κι ένας με \(n+1\) πεντάρια— δίνουν, αφαιρώντας τα τετράγωνά τους, έναν αριθμό αποτελούμενο αποκλειστικά από άσσους (έναν λεγόμενο repunit). Το μοτίβο επαληθεύεται μέχρι και για επτά πεντάρια, χωρίς καμία εξαίρεση.

📐 Γιατί συμβαίνει πάντα

Το κλειδί είναι απλό: ο αριθμός \(a\) (με \(n\) πεντάρια τελειώνοντας σε 6) είναι πάντα ακριβώς κατά 1 μεγαλύτερος από τον αριθμό \(b\) (με \(n+1\) πεντάρια) — αφού το τελευταίο ψηφίο αλλάζει απλώς από 5 σε 6. Έτσι, \(a=b+1\), και:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b)=1\cdot(2b+1)=2b+1 \]

Ο αριθμός \(b\) με \(n+1\) πεντάρια ισούται με \(\dfrac{5(10^{n+1}-1)}{9}\). Αντικαθιστώντας:

\[ 2b+1 = \frac{10(10^{n+1}-1)}{9}+1 = \frac{10^{n+2}-1}{9} \]

κι αυτό είναι ακριβώς ο τύπος για ένα repunit αποτελούμενο από \(n+2\) άσσους. Η ταυτότητα, δηλαδή, δεν είναι σύμπτωση — ισχύει εγγυημένα για κάθε \(n\), επ' άπειρον.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →