🔺 Το Πρώτο Σημείο Brocard – Μια Όμορφη Γεωμετρική Κατασκευή

Θεωρούμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο \(ABC\). Στις πλευρές του και εξωτερικά από αυτό κατασκευάζουμε τρίγωνα με κορυφές \(A'\), \(B'\) και \(C'\), έτσι ώστε

\[ \triangle CA'B\sim\triangle CAB' \sim\triangle C'AB\sim\triangle ABC. \]

Για ευκολία συμβολίζουμε τις αντίστοιχες ίσες γωνίες των όμοιων τριγώνων με \(\alpha,\beta,\gamma\).

1. Τρεις κύκλοι – ένα κοινό σημείο

Έστω ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων \(CA'B\) και \(CAB'\) τέμνονται, εκτός από το \(C\), στο σημείο \(P\).

Από τις εγγεγραμμένες γωνίες και τις ομοιότητες των τριγώνων προκύπτει

\[ \angle APB =360^\circ-(\angle APC+\angle BPC) =\gamma+\beta =180^\circ-\alpha. \]

Άρα τα σημεία \(A,P,B,C'\) είναι ομοκυκλικά. Επομένως το \(P\) ανήκει και στον περιγεγραμμένο κύκλο του τρίτου τριγώνου \(C'AB\).

Οι τρεις περιγεγραμμένοι κύκλοι διέρχονται από το ίδιο σημείο \(P\).

2. Οι ευθείες \(AA'\), \(BB'\) και \(CC'\) διέρχονται επίσης από το \(P\)

Πράγματι,

\[ \angle APA' =\angle APC+\angle CPA' =(180^\circ-\gamma)+\angle CBA' =180^\circ. \]

Επομένως τα σημεία \(A,P,A'\) είναι συνευθειακά. Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα σημεία

\[ B,P,B' \qquad\text{και}\qquad C,P,C' \]

είναι επίσης συνευθειακά. Συνεπώς,

\[ \boxed{AA'\cap BB'\cap CC'=P}. \]

3. Η γωνία Brocard

Από τις προηγούμενες κυκλικότητες και τις σχέσεις των γωνιών έχουμε

\[ \begin{aligned} \angle ABP &=\beta-\angle PBC\\ &=\beta-\angle PA'C\\ &=\beta-\bigl(180^\circ-\angle CAP-\alpha-\gamma\bigr)\\ &=\angle CAP. \end{aligned} \]

Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται και η ισότητα με την τρίτη γωνία. Επομένως,

\[ \boxed{\angle ABP=\angle CAP=\angle BCP=\varphi} \]

Το σημείο \(P\), για το οποίο ισχύει η παραπάνω χαρακτηριστική σχέση, ονομάζεται πρώτο σημείο Brocard του τριγώνου \(ABC\), ενώ η κοινή γωνία \(\varphi\) ονομάζεται γωνία Brocard του τριγώνου.

Η κατασκευή αποκαλύπτει μια ιδιαίτερα όμορφη ιδιότητα: το ίδιο σημείο \(P\) μπορεί να κατασκευαστεί με δύο διαφορετικούς τρόπους — είτε ως κοινό σημείο τριών περιγεγραμμένων κύκλων είτε ως κοινό σημείο των τριών ευθειών \(AA'\), \(BB'\) και \(CC'\).

Σημείωση: Οι παραπάνω σχέσεις δεν περιορίζονται στα οξυγώνια τρίγωνα. Με τη χρήση προσανατολισμένων γωνιών μπορούν να διατυπωθούν και για γενικό τρίγωνο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →