📐 Τέσσερις Παραβολές Περικλείουν μια Περιοχή – Βρείτε το c και το Εμβαδόν

Έστω η παραβολή

\[ y=x^2+c,\qquad c>0. \]

Με κέντρο το \(O(0,0)\), περιστρέφουμε την παραβολή κατά \(-90^\circ\) και παίρνουμε μια δεύτερη παραβολή.

1. Για ποια τιμή του \(c\) οι δύο παραβολές εφάπτονται;

2. Περιστρέφουμε στη συνέχεια και τις δύο παραβολές κατά \(180^\circ\). Έτσι προκύπτουν τέσσερις παραβολές που περικλείουν μια περιοχή του επιπέδου. Ποιο είναι το εμβαδόν αυτής της περιοχής;

🔍 Δείτε τη λύση

Με περιστροφή κατά \(-90^\circ\), η πρώτη παραβολή μετατρέπεται στην

\[ x=y^2+c. \]

Στα κοινά σημεία των δύο παραβολών έχουμε

\[ y=x^2+c, \qquad x=y^2+c. \]

Αφαιρώντας κατά μέλη,

\[ y-x=x^2-y^2=(x-y)(x+y), \]

οπότε

\[ (x-y)(x+y+1)=0. \]

Στο σημείο επαφής, λόγω συμμετρίας, έχουμε \(x=y\). Θέτοντας \(y=x\) στην πρώτη εξίσωση:

\[ x=x^2+c. \]

Για να υπάρχει ένα μοναδικό κοινό σημείο πάνω στη διχοτόμο, η εξίσωση

\[ x^2-x+c=0 \]

πρέπει να έχει διπλή ρίζα. Άρα

\[ 1-4c=0, \]

και επομένως

\[ \boxed{c=\frac14}. \]

Το σημείο επαφής είναι

\[ \left(\frac12,\frac12\right). \]

Με τις περιστροφές κατά \(180^\circ\) προκύπτουν συνολικά οι τέσσερις παραβολές

\[ y=x^2+\frac14,\qquad x=y^2+\frac14, \]

\[ y=-x^2-\frac14,\qquad x=-y^2-\frac14. \]

Η περικλειόμενη περιοχή έχει τετραπλή περιστροφική συμμετρία. Στο πρώτο τεταρτημόριο βρίσκεται ανάμεσα στις καμπύλες

\[ y=x^2+\frac14 \qquad\text{και}\qquad y=\sqrt{x-\frac14}, \]

για

\[ \frac14\le x\le\frac12. \]

Επομένως το εμβαδόν του αντίστοιχου τμήματος είναι

\[ A_1= \int_{1/4}^{1/2} \left( \sqrt{x-\frac14}-x^2-\frac14 \right)\,dx =\frac{5}{192}. \]

Λόγω της τετραπλής συμμετρίας,

\[ A=4A_1 =4\cdot\frac{5}{192}. \]

\[ \boxed{c=\frac14} \] \[ \boxed{A=\frac{5}{48}} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →