Το Πολύεδρο του Császár 🔷 Μπορεί να Χωριστεί σε Τετράεδρα;

🔷 Πώς «Τετραεδρίζεται» το Πολύεδρο του Császár;

Στο επίπεδο ισχύει ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα: κάθε απλό πολύγωνο μπορεί να τριγωνοποιηθεί, δηλαδή να χωριστεί σε τρίγωνα χωρίς να προσθέσουμε νέες κορυφές.

Είναι λοιπόν φυσικό να αναρωτηθούμε τι συμβαίνει στις τρεις διαστάσεις:

Μπορεί κάθε πολύεδρο να χωριστεί σε τετράεδρα χρησιμοποιώντας μόνο τις υπάρχουσες κορυφές του;

Η απάντηση είναι όχι. Υπάρχουν μη κυρτά πολύεδρα για τα οποία μια τέτοια διαμέριση είναι αδύνατη. Το κλασικότερο παράδειγμα είναι το πολύεδρο του Schönhardt.

Τι συμβαίνει όμως με ένα άλλο εξαιρετικά παράξενο μη κυρτό πολύεδρο, το πολύεδρο του Császár;

Ένα πολύεδρο χωρίς διαγωνίους

Το πολύεδρο του Császár ανακαλύφθηκε το 1949 από τον Ούγγρο μαθηματικό Ákos Császár. Έχει 7 κορυφές, 21 ακμές και 14 τριγωνικές έδρες.

Η εκπληκτική ιδιότητά του είναι ότι κάθε ζεύγος κορυφών συνδέεται με ακμή. Πράγματι,

\[ \binom{7}{2}=21, \]

και το πολύεδρο έχει ακριβώς \(21\) ακμές. Επομένως δεν υπάρχουν δύο κορυφές που να μπορούν να ενωθούν με μια νέα διαγώνιο: το πολύεδρο του Császár δεν έχει καθόλου διαγωνίους.

7 κορυφές
21 ακμές
14 τριγωνικές έδρες

και καμία διαγώνιος.

Πολύεδρο Császár που κατασκευάστηκε από τον @MamenFdez 

Μπορεί λοιπόν να χωριστεί σε τετράεδρα;

Η απουσία διαγωνίων και η μη κυρτή μορφή του κάνουν το ερώτημα ιδιαίτερα ενδιαφέρον. Θα μπορούσε κανείς εύκολα να υποθέσει ότι το πολύεδρο του Császár είναι ένα ακόμη παράδειγμα πολυέδρου που δεν μπορεί να τετραεδριστεί.

Κι όμως, συμβαίνει το αντίθετο:

Το πολύεδρο του Császár μπορεί πράγματι να διαμεριστεί σε τετράεδρα.

Το δύσκολο δεν είναι να γνωρίζουμε ότι μια τέτοια διαμέριση υπάρχει, αλλά να κατανοήσουμε πώς ακριβώς τοποθετούνται τα τετράεδρα μέσα σε αυτή την ασυνήθιστη τρισδιάστατη κατασκευή.

Η κατασκευή του Lajos Szilassi

Μια ιδιαίτερα παραστατική απάντηση έδωσε ο Ούγγρος μαθηματικός Lajos Szilassi, δημιουργώντας μια τρισδιάστατη διαμέριση του πολυέδρου του Császár σε τετράεδρα.

Η κατασκευή παρουσιάζεται διαδραστικά στο Wolfram Demonstrations Project. Ο χρήστης μπορεί να περιστρέψει το πολύεδρο και να μετακινήσει τα επιμέρους τετράεδρα, ώστε να δει πώς συναρμολογούνται και σχηματίζουν ολόκληρο το πολύεδρο.

Το ενδιαφέρον δίδαγμα:

Το ότι ένα πολύεδρο είναι μη κυρτό και έχει εξαιρετικά ασυνήθιστη δομή δεν σημαίνει ότι δεν μπορεί να διαμεριστεί σε τετράεδρα.

Το πολύεδρο του Schönhardt και το πολύεδρο του Császár δείχνουν πόσο διαφορετική γίνεται η γεωμετρία όταν περνάμε από τις δύο στις τρεις διαστάσεις. Η τριγωνοποίηση των πολυγώνων είναι πάντοτε δυνατή· η αντίστοιχη διαδικασία για τα πολύεδρα κρύβει πολύ μεγαλύτερες δυσκολίες.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →