🔺Μια αλυσίδα ισόπλευρων τριγώνων — Πόσο είναι το d;

🔺 Μια αλυσίδα ισόπλευρων τριγώνων — Πόσο είναι το \(d\);

Ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

\[ 1\text{ m}. \]

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε μια αλυσίδα ισόπλευρων τριγώνων, έτσι ώστε η πλευρά κάθε νέου τριγώνου να είναι η μισή της πλευράς του προηγούμενου.

\[ 1,\quad \frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad\ldots \]

🧠 Πρόκληση

Ποιος είναι ο γρηγορότερος τρόπος να υπολογίσουμε την απόσταση \(d\) που φαίνεται στο σχήμα;

💡 Εμφάνιση υπόδειξης

Μην προσπαθήσετε να υπολογίσετε διαδοχικά όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες.

Υπάρχουν δύο επαναλαμβανόμενα στοιχεία στην κατασκευή:

\[ \text{λόγος μηκών}=\frac12 \]

και

\[ \text{αλλαγή διεύθυνσης}=60^\circ. \]

Επομένως, σκεφτείτε κάθε διαδοχικό τμήμα ως διάνυσμα. Το επόμενο προκύπτει από το προηγούμενο με μια σμίκρυνση κατά \(1/2\) και μια περιστροφή κατά \(60^\circ\).

Αν γνωρίζετε μιγαδικούς αριθμούς, αυτή η διπλή μεταβολή —σμίκρυνση και περιστροφή— μπορεί να γραφτεί με έναν μόνο παράγοντα:

\[ q=\frac12e^{\,i\pi/3} \]

(με το κατάλληλο πρόσημο της γωνίας ανάλογα με τη φορά της κατασκευής).

Έτσι η αλυσίδα μετατρέπεται ουσιαστικά σε άθροισμα της μορφής

\[ \vec v+\vec vq+\vec vq^2+\vec vq^3+\cdots, \]

δηλαδή σε μια γεωμετρική πρόοδο. Υπολογίστε πρώτα το συνολικό διάνυσμα και στο τέλος πάρτε το μέτρο του για να βρείτε την απόσταση \(d\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →