🍦Σφαίρες Dandelin: Πώς Γεννιούνται οι Εστίες μιας Έλλειψης μέσα σε έναν Κώνο

🍦 Σφαίρες Dandelin: Πού Κρύβονται οι Εστίες μιας Έλλειψης;

Όταν ένα επίπεδο τέμνει πλάγια έναν ορθό κυκλικό κώνο, μπορεί να δημιουργηθεί μια έλλειψη.

Αλλά εδώ εμφανίζεται ένα όμορφο γεωμετρικό ερώτημα: από πού προκύπτουν οι δύο εστίες της έλλειψης; Πώς μπορεί η τρισδιάστατη κατασκευή του κώνου να «γνωρίζει» πού βρίσκονται αυτά τα δύο ιδιαίτερα σημεία;

Η εκπληκτική ιδέα του Dandelin

Μέσα στον κώνο μπορούμε να τοποθετήσουμε μια σφαίρα έτσι ώστε να εφάπτεται τόσο στην επιφάνεια του κώνου όσο και στο επίπεδο που τον τέμνει.

Το σημείο επαφής της σφαίρας με το επίπεδο δεν είναι ένα τυχαίο σημείο. Είναι μία από τις εστίες της έλλειψης.

Και υπάρχει ακόμη μία αντίστοιχη σφαίρα στην άλλη πλευρά του τέμνοντος επιπέδου. Αν τα σημεία επαφής των δύο σφαιρών με το επίπεδο είναι \(F_1\) και \(F_2\), τότε αυτά είναι ακριβώς οι δύο εστίες της έλλειψης.

Οι εστίες μιας έλλειψης μπορούν λοιπόν να «γεννηθούν» ως σημεία επαφής δύο σφαιρών με το επίπεδο που τέμνει τον κώνο.

📐 Γιατί όμως είναι πράγματι οι εστίες;

Έστω \(P\) ένα οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης. Η γενέτειρα του κώνου που περνά από το \(P\) εφάπτεται στις δύο σφαίρες σε σημεία \(Q\) και \(T\).

Από το ίδιο εξωτερικό σημείο \(P\), τα εφαπτόμενα τμήματα προς μια σφαίρα έχουν ίσα μήκη. Επομένως:

\[ PF_1=PQ \]

και αντίστοιχα

\[ PF_2=PT. \]

Άρα

\[ PF_1+PF_2=PQ+PT. \]

Όμως τα \(Q\) και \(T\) βρίσκονται πάνω σε δύο σταθερούς κύκλους επαφής των σφαιρών με τον κώνο. Καθώς το \(P\) κινείται πάνω στην τομή, το συνολικό μήκος στη δεξιά πλευρά παραμένει σταθερό. Επομένως

\[ \boxed{PF_1+PF_2=\text{σταθερό}}. \]

Αλλά αυτή είναι ακριβώς η γνωστή εστιακή ιδιότητα της έλλειψης: το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερό.

Άρα τα \(F_1\) και \(F_2\) δεν μπορεί παρά να είναι οι εστίες της έλλειψης.

Κώνος + επίπεδο + δύο σφαίρες

↓

οι δύο εστίες της έλλειψης.

Οι σφαίρες Dandelin δημιουργούν έτσι μια πανέμορφη γέφυρα ανάμεσα σε δύο φαινομενικά διαφορετικούς ορισμούς της έλλειψης: την έλλειψη ως τομή ενός κώνου από επίπεδο και την έλλειψη ως το σύνολο των σημείων για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από δύο εστίες είναι σταθερό.

Και το ίδιο τέχνασμα δεν περιορίζεται στην έλλειψη. Οι σφαίρες Dandelin αποκαλύπτουν με ανάλογο τρόπο τις εστίες και στις άλλες κωνικές τομές.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →