🔢 Ο Αριθμός της Dottie – Ένας Παγκόσμιος Ελκυστής

🧮 Το πείραμα

Πάρε μια επιστημονική αριθμομηχανή (σε ακτίνια!), βάλε οποιονδήποτε αριθμό και πάτα εναλλάξ τα πλήκτρα cos και = πολλές φορές.

Ό,τι αριθμό και να ξεκινήσεις, μετά από αρκετές επαναλήψεις θα καταλήξεις πάντα στον ίδιο αριθμό:

D ≈ 0,7390851332…

📐 Ορισμός

Ο αριθμός της Dottie είναι η μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης:

\[ \cos x = x \]

Είναι δηλαδή το μοναδικό σταθερό σημείο της συνάρτησης συνημιτόνου. Γραφικά αντιστοιχεί στο σημείο τομής της \( y = \cos x \) και της \( y = x \).

🌍 Παγκόσμιος ελκυστής

Ο αριθμός της Dottie είναι παγκόσμιος ελκυστής (global attractor) για την επανάληψη του συνημιτόνου: ξεκινώντας από οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό, η ακολουθία

\[ x_{n+1} = \cos x_n \]

συγκλίνει πάντα στο D.

📖 Η ιστορία του ονόματος

Το όνομα προέρχεται από τη Dottie, καθηγήτρια Γαλλικών, η οποία παρατήρησε ότι πατώντας επανειλημμένα το πλήκτρο cos στην αριθμομηχανή της κατέληγε πάντα στον ίδιο αριθμό. Το ανέφερε στον σύζυγό της, μαθηματικό, ο οποίος αναγνώρισε ότι είχε βρει έναν όμορφο παγκόσμιο ελκυστή.

∞ Υπερβατικότητα

Ο αριθμός της Dottie είναι υπερβατικός. Η απόδειξη βασίζεται στην ταυτότητα \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), στον τύπο του Euler και στο θεώρημα Lindemann–Weierstrass.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα