EisatoponAI: 📐 Απόδειξη ότι ο Αριθμός e Είναι Άρρητος

Αφαιρετική μαθηματική εικόνα άπειρης φωτεινής σειράς κλασμάτων να συγκλίνει προς ένα σημείο, με έναν μικρό ακέραιο παγιδευμένο αδύνατα ανάμεσα σε δύο γειτονικούς ακέραιους δείκτες πάνω σε αριθμογραμμή

🔢 Το σημείο εκκίνησης

Ο αριθμός \(e\), βάση του φυσικού λογαρίθμου, με τιμή \(e\approx2{,}71828\), είναι γνωστό ότι είναι τόσο άρρητος όσο και υπερβατικός. Θα αποδείξουμε εδώ ότι είναι άρρητος, χρησιμοποιώντας απόδειξη με αντίφαση. Ξεκινάμε από μια γνωστή αναπαράσταση του \(e\) ως άπειρη σειρά:

\[ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots \]

⚖️ Η υπόθεση προς αντίκρουση

Υποθέτουμε ότι ο \(e\) είναι ρητός, δηλαδή \(e=p/q\), όπου \(p\), \(q\) θετικοί ακέραιοι (η σειρά παραπάνω δείχνει ότι ο \(e\) είναι σαφώς θετικός). Πολλαπλασιάζουμε τη σειρά με \(q!\):

\[ q!\,e = q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\cdots+\frac{q!}{q!}+\frac{q!}{(q+1)!}+\cdots \]

Το \(q!e\) είναι ακέραιος (αφού \(e=p/q\)), και το άθροισμα των πρώτων \(q+1\) όρων στα δεξιά είναι επίσης ακέραιος, αφού κάθε κλάσμα \(q!/n!\) με \(n\leq q\) απλοποιείται σε ακέραιο. Άρα η διαφορά τους, έστω \(R\), είναι κι αυτή ακέραιος — και, προφανώς, θετικός:

\[ R = \frac{q!}{(q+1)!}+\frac{q!}{(q+2)!}+\frac{q!}{(q+3)!}+\cdots = \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\cdots \]

📏 Φράσσοντας το R

Αφού \(q+2>q+1\), \(q+3>q+1\) κ.ο.κ., κάθε όρος του \(R\) είναι μικρότερος από τον αντίστοιχο όρο μιας γεωμετρικής προόδου:

\[ R < \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^3}+\cdots = \frac{1}{q+1}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}} = \frac{1}{q+1}\cdot\frac{q+1}{q} = \frac{1}{q} \]

Αφού \(q\) είναι θετικός ακέραιος, \(1/q\leq1\), άρα καταλήγουμε στην αλυσίδα ανισοτήτων:

\[ 0 < R < \frac{1}{q} \leq 1 \]

Δηλαδή, το \(R\) είναι ένας ακέραιος αυστηρά ανάμεσα στο 0 και το 1 — κάτι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κανένας ακέραιος ανάμεσα σε αυτούς τους δύο αριθμούς. Η αντίφαση αυτή προήλθε απευθείας από την αρχική μας υπόθεση ότι ο \(e\) είναι ρητός. Άρα η υπόθεση ήταν εξαρχής ψευδής:

Ο αριθμός e είναι άρρητος. ∎