🔢 Δύο Απρόσμενες Προσεγγίσεις για τους Αριθμούς e και π

Ορισμένοι μαθηματικοί τύποι δεν είναι ακριβείς ταυτότητες, αλλά πλησιάζουν έναν γνωστό αριθμό τόσο καλά, ώστε με την πρώτη ματιά μοιάζουν σχεδόν «μαγικοί». Δύο όμορφα παραδείγματα αφορούν τον αριθμό του Euler \(e\) και τον αριθμό \(\pi\).

Η προσέγγιση του \(e\)

\[e\approx 3-\sqrt{\frac{5}{63}}\]

Η προσέγγιση αυτή αποδίδεται στον Ed Pegg Jr. Αν υπολογίσουμε το δεξί μέλος, παίρνουμε

\[3-\sqrt{\frac{5}{63}}\approx 2{,}718281915090495,\]

ενώ

\[e\approx 2{,}718281828459045.\]

Η απόλυτη διαφορά είναι μόλις

\[8{,}66\times10^{-8},\]

οπότε τα πρώτα έξι δεκαδικά ψηφία συμπίπτουν. Το σχετικό σφάλμα είναι περίπου \(3{,}19\times10^{-6}\%\).

Η προσέγγιση του \(\pi\)

\[\left(1+\frac{1}{\pi}\right)^{1+\pi}\approx\pi\]

Η αριθμητική σύμπτωση, που έχει επισημανθεί από τους Jonathan Borwein, Peter Borwein και David Bailey, δίνει

\[\left(1+\frac{1}{\pi}\right)^{1+\pi}\approx 3{,}140968878039792,\]

ενώ

\[\pi\approx3{,}141592653589793.\]

Εδώ η απόλυτη διαφορά είναι περίπου

\[6{,}24\times10^{-4},\]

και το σχετικό σφάλμα περίπου \(0{,}0199\%\). Η προσέγγιση είναι σαφώς λιγότερο ακριβής από την προηγούμενη, αλλά παραμένει αξιοπρόσεκτη λόγω της απλής και συμμετρικής εμφάνισής της.

Πόσο καλές είναι;

Προσέγγιση	Απόλυτο σφάλμα	Σχετικό σφάλμα
\(3-\sqrt{5/63}\approx e\)	\(8{,}66\times10^{-8}\)	\(3{,}19\times10^{-6}\%\)
\(\left(1+1/\pi\right)^{1+\pi}\approx\pi\)	\(6{,}24\times10^{-4}\)	\(0{,}0199\%\)

Προσέγγιση δεν σημαίνει ισότητα

Το σύμβολο \(\approx\) διαβάζεται «είναι περίπου ίσο με». Οι δύο σχέσεις δεν αποτελούν κρυμμένες ακριβείς ταυτότητες. Είναι αριθμητικές συμπτώσεις με διαφορετικό βαθμό ακρίβειας. Η αξία τους βρίσκεται κυρίως στην κομψότητα, στην απλότητα και στην έκπληξη που προκαλεί η εγγύτητα των δύο μελών.

Μια μικρή υπενθύμιση:
μια εντυπωσιακή δεκαδική συμφωνία μπορεί να γεννήσει μια μαθηματική ερώτηση· δεν αποτελεί από μόνη της μαθηματική απόδειξη.

Δείτε τους αριθμητικούς υπολογισμούς

Για τον \(e\):

\[\left(3-\sqrt{\frac{5}{63}}\right)-e\approx8{,}66314496\times10^{-8}.\]

Για τον \(\pi\):

\[\pi-\left(1+\frac1\pi\right)^{1+\pi}\approx6{,}23775550\times10^{-4}.\]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →