🌊 Χρησιμοποιούσε ο Euler Ήδη Σειρές Fourier, Πριν καν τις Ανακαλύψει ο Fourier;

Η απάντηση είναι: ναι. Ο Leonhard Euler εργαζόταν συστηματικά με τριγωνομετρικές σειρές δεκαετίες πριν καν γεννηθεί ο Joseph Fourier. Ήδη το 1744, ο Euler ήταν ο πρώτος που εξέφρασε μια αλγεβρική συνάρτηση μέσω τέτοιας σειράς. Το 1748, τις χρησιμοποιούσε για να μοντελοποιήσει διαταραχές στην τροχιά της Σελήνης, στο πλαίσιο της ουράνιας μηχανικής. 

Και το 1777 —ακριβώς 30 χρόνια πριν από το θεμελιώδες υπόμνημα του Fourier το 1807— ο Euler είχε ήδη παραγάγει, μέσω διαδοχικής ολοκλήρωσης όρο προς όρο, τους ίδιους ακριβώς τύπους για τους συντελεστές μιας τριγωνομετρικής σειράς που σήμερα αποκαλούμε «τύπους Fourier». Ο Γάλλος μαθηματικός Alexis Clairaut είχε φτάσει σε παρόμοιο αποτέλεσμα ακόμη νωρίτερα, το 1754.

Υπάρχει μάλιστα ένα πολύ συγκεκριμένο, εντυπωσιακό παράδειγμα: ο Euler δημοσίευσε τον τύπο

\[ \frac{x}{2} = \sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots \]

—την ακριβή σειρά Fourier της συνάρτησης «πριονωτού κύματος»— πολύ πριν καν ξεκινήσει το έργο του Fourier πάνω στο θέμα. Επαληθεύσαμε αριθμητικά τον τύπο, αθροίζοντας τους πρώτους 10.000 όρους της σειράς για διάφορες τιμές του x: η σύγκλιση στο x/2 είναι σχεδόν τέλεια.

Γιατί, λοιπόν, οι σειρές φέρουν το όνομα του Fourier, και όχι του Euler ή του Clairaut; Η πραγματική συνεισφορά του Fourier δεν ήταν η ίδια η τεχνική άθροισης όρων — αυτή προϋπήρχε ήδη. 

Ήταν κάτι πιο τολμηρό: ο Fourier ισχυρίστηκε, στο υπόμνημά του του 1807 πάνω στη διάδοση της θερμότητας σε στερεά σώματα, ότι οποιαδήποτε συνάρτηση —ακόμη κι εντελώς ασυνεχής, χωρίς καμία «καλή» αναλυτική μορφή— θα μπορούσε να αναπαρασταθεί με τέτοια σειρά. 

Ήταν μια τόσο ριζοσπαστική γενίκευση για την εποχή της, που η ίδια η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε αρχικά να τη δημοσιεύσει, καθυστερώντας την πλήρη έκδοσή της μέχρι το 1822, στο βιβλίο του Théorie analytique de la chaleur.

Ο Euler χρησιμοποιούσε τις σειρές αυτές ως έξυπνο εργαλείο προσέγγισης για συγκεκριμένες, «καλοσυμπεριφερμένες» συναρτήσεις. Ο Fourier τόλμησε να τις δει ως καθολικό εργαλείο, ικανό να περιγράψει σχεδόν οποιοδήποτε φαινόμενο — και αυτή η τόλμη, τελικά, του χάρισε το όνομα.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →