🔢 Ο Euler, το \(\pi\) και οι πρώτοι αριθμοί

🔢 Το \(\pi\) Κρυμμένο Μέσα στους Πρώτους Αριθμούς

Το \(\pi\) το γνωρίζουμε κυρίως από τη γεωμετρία του κύκλου. Υπάρχει όμως μια εντυπωσιακή σχέση που το συνδέει με έναν εντελώς διαφορετικό κόσμο: τους πρώτους αριθμούς.

Αν \(p_n\) είναι ο \(n\)-οστός πρώτος αριθμός, τότε:

\[ \boxed{ \pi= \frac{2}{ \displaystyle\prod_{n=2}^{\infty} \left( 1+\frac{(-1)^{(p_n-1)/2}}{p_n} \right)} } \]

Επειδή \(p_1=2\), το γινόμενο αρχίζει από \(n=2\) και επομένως διατρέχει όλους τους περιττούς πρώτους:

\[ 3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\ldots \]

Τι κάνει ο παράξενος εκθέτης;

Για κάθε περιττό πρώτο \(p\), η ποσότητα

\[ (-1)^{(p-1)/2} \]

μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές \(+1\) και \(-1\). Συγκεκριμένα:

\[ (-1)^{(p-1)/2} = \begin{cases} 1, & p\equiv1\pmod4,\\[4pt] -1, & p\equiv3\pmod4. \end{cases} \]

Άρα οι περιττοί πρώτοι χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Οι πρώτοι της μορφής \(4k+1\) συνεισφέρουν έναν παράγοντα \(1+1/p\), ενώ οι πρώτοι της μορφής \(4k+3\) έναν παράγοντα \(1-1/p\).

\[ \boxed{ \frac{2}{\pi} = \left(1-\frac13\right) \left(1+\frac15\right) \left(1-\frac17\right) \left(1-\frac1{11}\right) \left(1+\frac1{13}\right) \cdots } \]

Τα πρόσημα λοιπόν δεν εναλλάσσονται απλώς. Καθορίζονται από το υπόλοιπο κάθε πρώτου αριθμού κατά τη διαίρεσή του με το \(4\).

🔍 Γιατί το γινόμενο ισούται με \(2/\pi\);

Θέτουμε

\[ \chi_4(p)=(-1)^{(p-1)/2} \]

για κάθε περιττό πρώτο \(p\). Επειδή \(\chi_4(p)^2=1\), έχουμε:

\[ \left(1-\frac{\chi_4(p)}p\right) \left(1+\frac{\chi_4(p)}p\right) = 1-\frac1{p^2}. \]

Επομένως:

\[ 1+\frac{\chi_4(p)}p = \frac{1-p^{-2}} {1-\chi_4(p)/p}. \]

Πολλασιάζοντας για όλους τους περιττούς πρώτους:

\[ \prod_{p\ \mathrm{odd}} \left(1+\frac{\chi_4(p)}p\right) = \left( \prod_{p\ \mathrm{odd}}(1-p^{-2}) \right) L(1,\chi_4). \]

Από το γινόμενο του Euler για τη συνάρτηση ζήτα:

\[ \prod_{p\ \mathrm{odd}}(1-p^{-2}) = \frac{8}{\pi^2}. \]

Από την άλλη, η σειρά του Leibniz δίνει:

\[ L(1,\chi_4) = 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots = \frac{\pi}{4}. \]

Άρα:

\[ \boxed{ \prod_{p\ \mathrm{odd}} \left(1+\frac{\chi_4(p)}p\right) = \frac8{\pi^2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac2\pi } \]

Από τον Euler στη Θεωρία Αριθμών

Πίσω από αυτή τη σχέση βρίσκεται μία από τις μεγάλες ιδέες του Leonhard Euler: ότι οι πρώτοι αριθμοί μπορούν να κωδικοποιηθούν μέσα σε άπειρα γινόμενα. Το θεμελιώδες παράδειγμα είναι

\[ \boxed{ \zeta(s)= \prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}} } \]

Το συγκεκριμένο γινόμενο για το \(\pi\) συνδυάζει αυτή την ιδέα με τον χαρακτήρα modulo \(4\) και τη σειρά του Leibniz. Έτσι μια σταθερά που γεννήθηκε από τη γεωμετρία του κύκλου εμφανίζεται μέσα από ένα γινόμενο που διατρέχει όλους τους περιττούς πρώτους.

Γεωμετρία, Ανάλυση και Θεωρία Αριθμών συναντιούνται στον ίδιο τύπο.

Σημείωση: Η γραφή με \(p_n\) είναι σύγχρονη. Η σχέση προκύπτει από τη θεωρία των γινομένων του Euler σε συνδυασμό με τον χαρακτήρα modulo \(4\) και τη σειρά του Leibniz για το \(\pi/4\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →