💥 Η Εικασία του Euler που Τελικά Κατέρρευσε

Το 1769, ο Leonhard Euler πρότεινε μια τολμηρή γενίκευση του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Υπέθεσε ότι για να γραφεί μία (k)-οστή δύναμη ως άθροισμα θετικών (k)-οστών δυνάμεων, απαιτούνται τουλάχιστον (k) προσθετέοι:

\[ a_1^k+a_2^k+\cdots+a_m^k=b^k \quad\Longrightarrow\quad m\geq k. \]

Για (k=4), η εικασία απέκλειε την ύπαρξη θετικών ακεραίων που να ικανοποιούν την εξίσωση

\[ A^4+B^4+C^4=D^4. \]

Το πρώτο πλήγμα: πέμπτες δυνάμεις

Η εικασία δεν παρέμεινε αμφισβήτητη μέχρι τη δεκαετία του 1980. Το πρώτο αντιπαράδειγμα βρέθηκε ήδη το 1966 από τους L. J. Lander και T. R. Parkin με τη βοήθεια υπολογιστή CDC 6600:

\[ 27^5+84^5+110^5+133^5=144^5. \]

Τέσσερις πέμπτες δυνάμεις αρκούν για να δώσουν μία πέμπτη δύναμη, ενώ ο Euler είχε προβλέψει ότι θα απαιτούνταν τουλάχιστον πέντε. Έτσι η γενική εικασία είχε ήδη καταρριφθεί.

Η κατάρρευση και στις τέταρτες δυνάμεις

Στη δεκαετία του 1980, ο Noam Elkies βρήκε μια μέθοδο που παράγει αντιπαραδείγματα της μορφής (A^4+B^4+C^4=D^4). Αξιοποιώντας τις ιδέες του Elkies και μια εξαντλητική υπολογιστική αναζήτηση, ο Roger Frye βρήκε το 1988 τη μικρότερη θετική ακέραια λύση:

\[ 95\,800^4+217\,519^4+414\,560^4=422\,481^4. \]

Η ισότητα είναι ακριβής. Δεν πρόκειται για αριθμητική προσέγγιση ούτε για σφάλμα στρογγυλοποίησης.

Δεν αντιφάσκει με το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat

Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat δηλώνει ότι η εξίσωση

\[ a^n+b^n=c^n,\qquad n>2, \]

δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακεραίους. Μιλά για δύο προσθετέους. Τα αντιπαραδείγματα του Euler χρησιμοποιούν τρεις ή τέσσερις προσθετέους και επομένως δεν παραβιάζουν το θεώρημα του Fermat.

Σύντομο χρονολόγιο

1769: Ο Euler διατυπώνει την εικασία για τα αθροίσματα ομοίων δυνάμεων.

1966: Οι Lander και Parkin βρίσκουν το αντιπαράδειγμα με τις πέμπτες δυνάμεις· η ανακοίνωση δημοσιεύεται το 1967.

Δεκαετία 1980: Ο Elkies αναπτύσσει μέθοδο για αντιπαραδείγματα με τέταρτες δυνάμεις.

1988: Ο Frye βρίσκει τη μικρότερη θετική λύση για (A^4+B^4+C^4=D^4).

Πηγές: N. Elkies, On (A^4+B^4+C^4=D^4), Mathematics of Computation· R. E. Frye, Finding (95,800^4+217,519^4+414,560^4=422,481^4) on the Connection Machine, Supercomputing ’88· L. J. Lander και T. R. Parkin, Counterexample to Euler’s Conjecture on Sums of Like Powers.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →