🌀 Απόδειξη του τύπου του Euler με μια ορίζουσα

Ο τύπος του Euler συνδέει την εκθετική συνάρτηση με την τριγωνομετρία:

\[e^{ix}=\cos x+i\sin x.\]

Μπορούμε να τον αποδείξουμε χωρίς ανάπτυγμα Taylor, χρησιμοποιώντας μόνο παραγώγους, μια διαφορική εξίσωση και μια ορίζουσα.

Τρεις λύσεις της ίδιας εξίσωσης

Θεωρούμε τις συναρτήσεις

\[f(x)=e^{ix},\qquad u(x)=\cos x,\qquad v(x)=\sin x.\]

Οι δεύτερες παράγωγοί τους είναι

\[f''=-f,\qquad u''=-u,\qquad v''=-v.\]

Άρα και οι τρεις ικανοποιούν τη γραμμική διαφορική εξίσωση

\[y''+y=0.\]

Η ορίζουσα της απόδειξης

Σχηματίζουμε την ορίζουσα των συναρτήσεων και των δύο πρώτων παραγώγων τους:

\[W(x)=\begin{vmatrix}e^{ix}&\cos x&\sin x\\[2mm]ie^{ix}&-\sin x&\cos x\\[2mm]-e^{ix}&-\cos x&-\sin x\end{vmatrix}.\]

Η τρίτη γραμμή είναι ακριβώς η αντίθετη της πρώτης. Επομένως,

\[W(x)=0\qquad\text{για κάθε }x.\]

Αυτό αντανακλά το γεγονός ότι ο χώρος λύσεων της εξίσωσης \(y''+y=0\) έχει διάσταση \(2\). Οι συναρτήσεις \(\cos x\) και \(\sin x\) αποτελούν βάση του, διότι ο δικός τους Wronskian είναι

\[\begin{vmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{vmatrix}=\cos^2x+\sin^2x=1.\]

Συνεπώς υπάρχουν σταθερές \(A\) και \(B\) τέτοιες ώστε

\[e^{ix}=A\cos x+B\sin x.\]

🔍 Προσδιορισμός των σταθερών

Για \(x=0\), έχουμε

\[1=e^0=A\cos0+B\sin0=A.\]

Άρα \(A=1\). Παραγωγίζοντας τη σχέση, παίρνουμε

\[ie^{ix}=-A\sin x+B\cos x.\]

Θέτοντας ξανά \(x=0\), προκύπτει

\[i=B.\]

Επομένως \(A=1\) και \(B=i\), άρα

\[\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}.\]

Η ίδια ιδέα σε μία γραμμή

Η συνάρτηση \(e^{ix}\) και η συνάρτηση \(\cos x+i\sin x\) ικανοποιούν και οι δύο την εξίσωση \(y''+y=0\), ενώ έχουν τις ίδιες αρχικές τιμές:

\[y(0)=1,\qquad y'(0)=i.\]

Από το θεώρημα μοναδικότητας των λύσεων μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, οι δύο συναρτήσεις είναι ίδιες για κάθε πραγματικό \(x\).

Μια σημαντική λεπτομέρεια

Η μηδενική τιμή μιας Wronskian ορίζουσας δεν συνεπάγεται πάντοτε από μόνη της γραμμική εξάρτηση για αυθαίρετες συναρτήσεις. Εδώ το συμπέρασμα είναι έγκυρο επειδή όλες οι συναρτήσεις είναι λύσεις της ίδιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης.

Συμπέρασμα: Η ταυτότητα του Euler δεν είναι απλώς μια τυπική σχέση συμβόλων. Περιγράφει τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση ως κίνηση πάνω στον μοναδιαίο κύκλο, με πραγματικό μέρος \(\cos x\) και φανταστικό μέρος \(\sin x\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →