🌊 Η Εικασία για την Εξίσωση του Euler – Μπορεί ένα Ρευστό να Σχηματίσει Οποιονδήποτε Κόμπο;

Το 1757 ο Leonhard Euler διατύπωσε τις εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός ιδανικού ρευστού: ενός ρευστού ασυμπίεστου και χωρίς ιξώδες.

Αν \(u(x,t)\) είναι το πεδίο ταχύτητας και \(P(x,t)\) η πίεση, οι εξισώσεις γράφονται

\[ \frac{\partial u}{\partial t}+(u\cdot\nabla)u=-\nabla P, \qquad \nabla\cdot u=0. \]

Πίσω όμως από αυτές τις εξισώσεις κρύβεται ένα απροσδόκητο γεωμετρικό ερώτημα. Αν ακολουθήσουμε ένα σωματίδιο του ρευστού καθώς κινείται, η τροχιά του καθορίζεται από

\[ \dot{x}=u(x,t). \]

Στη στάσιμη περίπτωση, όπου το πεδίο ταχύτητας δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο, μπορούμε να μελετήσουμε τη γεωμετρία αυτών των γραμμών. Και τότε εμφανίζεται κάτι που μοιάζει περισσότερο με θεωρία κόμβων παρά με κλασική μηχανική ρευστών.

Μπορεί μια γραμμή ροής να κλείσει πάνω στον εαυτό της σχηματίζοντας έναν κόμπο; Και, ακόμη περισσότερο, μπορούν οι εξισώσεις του Euler να δημιουργήσουν οποιονδήποτε κόμπο ή σύνδεσμο μπορούμε να φανταστούμε;

Η εικασία:

Κάθε κόμπος ή σύνδεσμος μπορεί να εμφανιστεί ως γραμμή ροής ή γραμμή στροβιλισμού μιας κατάλληλης στάσιμης λύσης των εξισώσεων Euler.

Η ιδέα είχε συνδεθεί ιδιαίτερα με το έργο του Vladimir Arnold στην τοπολογική υδροδυναμική. Ο Arnold είχε δείξει ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η γεωμετρία των γραμμών ροής είναι εξαιρετικά άκαμπτη. Στην ιδιαίτερη όμως περίπτωση των πεδίων Beltrami —όπου το πεδίο ταχύτητας και ο στροβιλισμός του είναι παράλληλα— αναμενόταν μια εντυπωσιακή τοπολογική ελευθερία.

Το ερώτημα παρέμεινε ανοικτό για δεκαετίες, ώσπου οι Ισπανοί μαθηματικοί Alberto Enciso και Daniel Peralta-Salas απέδειξαν ότι αυτή η εκπληκτική συμπεριφορά πράγματι είναι δυνατή.

Με άλλα λόγια, μπορούν να υπάρξουν στάσιμες λύσεις των εξισώσεων Euler των οποίων οι γραμμές ροής ή στροβιλισμού σχηματίζουν κόμπους και συνδέσμους αυθαίρετα περίπλοκης τοπολογίας.

Η απόδειξή τους συνδύασε εργαλεία από περιοχές που συνήθως μοιάζουν αρκετά απομακρυσμένες μεταξύ τους: μερικές διαφορικές εξισώσεις, δυναμικά συστήματα και διαφορική τοπολογία.

Ένα ρευστό μπορεί, μαθηματικά, να «δέσει» σχεδόν οποιονδήποτε κόμπο.

Και ίσως αυτό είναι το πιο όμορφο στοιχείο της ιστορίας: μια εξίσωση που γράφτηκε τον 18ο αιώνα για να περιγράψει την κίνηση των ρευστών κατέληξε, δυόμισι αιώνες αργότερα, να συναντήσει τη σύγχρονη θεωρία κόμβων και την τοπολογία.

Πηγές: Bulletin of the London Mathematical Society – Beltrami fields and knotted vortex structures

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →