EisatoponAI: ♾️ Η Μέθοδος της Άπειρης Καθόδου

Αφαιρετική μαθηματική εικόνα φωτεινής σκάλας αριθμών να κατεβαίνει άπειρα μέσα στο σκοτάδι, με κάθε σκαλοπάτι μικρότερο από το προηγούμενο, συγκλίνοντας σε ένα αδύνατο σημείο εξαφάνισης-

Οι πιο γνωστές μέθοδοι απόδειξης —η άμεση απόδειξη, η απόδειξη με αντίφαση, η μαθηματική επαγωγή— είναι, ας πούμε, οι πιο συνηθισμένες. Υπάρχει όμως μία μέθοδος ελάχιστα γνωστή, αν και όχι λιγότερο λαμπρή: η μέθοδος της άπειρης καθόδου (infinite descent), επινοημένη από τον Pierre de Fermat.

Είναι, ουσιαστικά, μια παραλλαγή της απόδειξης με αντίφαση, ειδικά προσαρμοσμένη σε προβλήματα με θετικούς ακέραιους αριθμούς. Η λογική της: υποθέτουμε ότι μια πρόταση \(P\) είναι ψευδής για κάποιον φυσικό αριθμό \(n\), και δείχνουμε ότι αυτό συνεπάγεται πως η \(P\) είναι ψευδής και για κάποιον μικρότερο φυσικό αριθμό.

Επαναλαμβάνοντας τη συλλογιστική, καταλήγουμε είτε σε μια άπειρη, γνησίως φθίνουσα ακολουθία φυσικών αριθμών —κάτι αδύνατο— είτε σε έναν συγκεκριμένο φυσικό αριθμό όπου η κατασκευή δεν μπορεί πια να συνεχιστεί. Και στις δύο περιπτώσεις, η αρχική υπόθεση καταρρίπτεται, και η \(P\) αποδεικνύεται αληθής.

📐 Ένα παράδειγμα: τετράγωνα και σχετικά πρώτοι

Θα αποδείξουμε ότι αν οι \(v\) και \(w\) είναι σχετικά πρώτοι, και το γινόμενό τους \(vw\) είναι τέλειο τετράγωνο, τότε αναγκαστικά τόσο το \(v\) όσο και το \(w\) είναι, το καθένα ξεχωριστά, τέλεια τετράγωνα.

Θα το κάνουμε δείχνοντας ότι είναι αδύνατο να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι \(v\), \(w\) τέτοιοι ώστε: (1) οι \(v\), \(w\) να είναι σχετικά πρώτοι, (2) το \(vw\) να είναι τετράγωνο, και (3) οι \(v\), \(w\) να ΜΗΝ είναι και οι δύο τετράγωνα.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας (εναλλάσσοντας τους ρόλους αν χρειαστεί), υποθέτουμε ότι το \(v\) δεν είναι τετράγωνο· ειδικότερα, \(v\neq1\), άρα το \(v\) διαιρείται από τουλάχιστον έναν πρώτο. Έστω \(P\) ένας τέτοιος πρώτος, με \(v=Pk\). Ο \(P\) διαιρεί επομένως και το \(vw\), το οποίο είναι τετράγωνο, \(vw=u^2\)· από τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών, ο \(P\) διαιρεί άρα και το \(u\), δηλαδή \(u=Pm\). Η ισότητα \(vw=u^2\) γράφεται τότε:

\[ Pkw = (Pm)^2 = P^2m^2 \ \Longrightarrow\ kw = Pm^2 \]

Αφού ο \(P\) διαιρεί τη δεξιά πλευρά, διαιρεί και την αριστερή, άρα διαιρεί είτε το \(k\) είτε το \(w\). Δεν μπορεί να διαιρεί το \(w\), αφού \(v\), \(w\) είναι σχετικά πρώτοι και ο \(P\) ήδη διαιρεί το \(v\). Άρα ο \(P\) διαιρεί το \(k\), έστω \(k=Pv'\). Αντικαθιστώντας:

\[ Pv'w = Pm^2 \ \Longrightarrow\ v'w = m^2 \]

Αφού \(v=Pk=P^2v'\), κάθε κοινός διαιρέτης των \(v'\), \(w\) θα ήταν και διαιρέτης του \(v\), άρα οι \(v'\), \(w\) παραμένουν σχετικά πρώτοι. Επιπλέον, αν το \(v'\) ήταν τετράγωνο, τότε \(v=P^2v'\) θα ήταν κι αυτό τετράγωνο —αντίθετο στην αρχική μας υπόθεση. Άρα το \(v'\) δεν είναι τετράγωνο, και οι \(v'\), \(w\) ικανοποιούν τις ίδιες τρεις ιδιότητες με τα \(v\), \(w\), με τη διαφορά ότι \(v'

Το ίδιο ακριβώς επιχείρημα, εφαρμοσμένο ξανά, δίνει έναν νέο θετικό ακέραιο \(v''v'>v''>\cdots\), κάτι αδύνατο. Άρα η αρχική μας υπόθεση ήταν εξαρχής άτοπη, και η πρόταση αποδεικνύεται.

🔑 Η αρχή, σε μία πρόταση

Συνοπτικά: αν το γεγονός ότι ένας θετικός ακέραιος ικανοποιεί κάποιες ιδιότητες συνεπάγεται πάντα την ύπαρξη ενός μικρότερου θετικού ακεραίου με τις ίδιες ιδιότητες, τότε κανένας θετικός ακέραιος δεν ικανοποιεί αυτές τις ιδιότητες.

📜 Η μοναδική πλήρης απόδειξη που σώζεται από τον ίδιο τον Fermat

Ο Fermat χρησιμοποίησε την ίδια μέθοδο για να αποδείξει, μεταξύ άλλων: ότι κανένα ορθογώνιο τρίγωνο ακέραιων πλευρών δεν μπορεί να έχει εμβαδόν τέλειο τετράγωνο· ότι κάθε πρώτος αριθμός της μορφής \(4n+1\) γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων με έναν και μόνο τρόπο· και την ειδική περίπτωση \(n=4\) του Τελευταίου Θεωρήματός του, δηλαδή ότι η εξίσωση \(x^4+y^4=z^4\) δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις.

Το πρώτο από αυτά τα αποτελέσματα έχει μια ξεχωριστή θέση στην ιστορία των μαθηματικών: είναι η μοναδική πλήρης απόδειξη που σώζεται γραμμένη από το ίδιο το χέρι του Fermat — βρέθηκε στα περιθώρια του προσωπικού του αντιτύπου της Αριθμητικής του Διόφαντου, και δημοσιεύτηκε μετά τον θάνατό του, το 1670, από τον γιο του.

Ο Fermat ήταν διαβόητος για το ότι διατύπωνε ισχυρισμούς χωρίς να καταγράφει τις αποδείξεις τους — το πιο διάσημο παράδειγμα είναι ακριβώς το Τελευταίο του Θεώρημα. Αυτή, όμως, είναι η μία φορά που η πλήρης του συλλογιστική έφτασε ως εμάς.