📐 Είναι η f(x)=1/x Συνεχής; Η Απάντηση που Προκαλεί Έκρηξη

📐 Είναι η \(f(x)=1/x\) Συνεχής;

Η γραφική παράσταση της

\[ f(x)=\frac{1}{x} \]

αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους και έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία \(x=0\). Είναι λοιπόν φυσικό να δημιουργείται η εντύπωση ότι η συνάρτηση «δεν είναι συνεχής».

Μαθηματικά, όμως, η απάντηση είναι:

Ναι. Η \(f(x)=1/x\) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

🔑 Το κλειδί είναι το πεδίο ορισμού

Η συνάρτηση

\[ f(x)=\frac1x \]

έχει πεδίο ορισμού

\[ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]

Η συνέχεια μιας συνάρτησης εξετάζεται στα σημεία του πεδίου ορισμού της.

Για κάθε \(x_0\neq0\),

\[ \lim_{x\to x_0}\frac1x = \frac1{x_0} = f(x_0). \]

Άρα η \(f(x)=1/x\) είναι συνεχής σε κάθε σημείο του \(D_f\) και επομένως είναι συνεχής συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της.

❓ Και τι συμβαίνει στο \(x=0\);

Στο \(x=0\) η συνάρτηση δεν ορίζεται.

Επομένως δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε εκεί τη συνθήκη

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), \]

αφού η ποσότητα \(f(0)\) δεν υπάρχει.

Επιπλέον,

\[ \lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty. \]

Έτσι, η ευθεία \(x=0\) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης. Αυτό όμως δεν αναιρεί τη συνέχεια της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της.

🧠 Ένα απλό παράδειγμα

Το ίδιο συμβαίνει με τη λογαριθμική συνάρτηση

\[ g(x)=\ln x. \]

Το πεδίο ορισμού της είναι

\[ D_g=(0,+\infty). \]

Η \(\ln x\) δεν ορίζεται για \(x\leq0\), αλλά είναι απολύτως σωστό να λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση, επειδή είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

✏️ Και το «χωρίς να σηκώσουμε το μολύβι»;

Στο σχολείο χρησιμοποιούμε συχνά τη φράση:

«Μια συνάρτηση είναι συνεχής όταν μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση χωρίς να σηκώσουμε το μολύβι.»

Αυτό μπορεί να βοηθήσει ως πρώτη γεωμετρική διαίσθηση, αλλά δεν αποτελεί μαθηματικό ορισμό της συνέχειας.

Στην περίπτωση της \(1/x\), το πεδίο ορισμού αποτελείται από δύο χωριστά διαστήματα,

\[ (-\infty,0)\cup(0,+\infty), \]

και η συνάρτηση είναι συνεχής σε καθένα από αυτά — άρα συνεχής σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

🎯 Η λεπτομέρεια που κάνει τη διαφορά

Η πρόταση

\[ \boxed{\text{«Η }f(x)=1/x\text{ είναι συνεχής»}} \]

είναι σωστή, όταν εννοούμε — όπως συνήθως στα μαθηματικά — ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

Δεν λέμε ότι είναι «συνεχής στο \(0\)». Το \(0\) απλώς δεν είναι σημείο του πεδίου ορισμού της.

Η συνέχεια δεν απαιτεί το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης να είναι ένα ενιαίο διάστημα.

Το μάθημα: πριν αποφασίσουμε αν μια συνάρτηση είναι συνεχής, κοιτάζουμε πρώτα πού ακριβώς ορίζεται.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →