Το επιστημονικό ημερολόγιο του Carl Friedrich Gauss είναι ανεκτίμητο για τους ιστορικούς των μαθηματικών — και ταυτόχρονα εξαιρετικά εκνευριστικό. Ο Gauss κατέγραφε μια ανακάλυψη όχι για να την εξηγήσει σε άλλους, αλλά για να σημειώσει ιδιωτικά ότι την είχε πραγματοποιήσει σε μια συγκεκριμένη ημερομηνία.
Το λεπτό αυτό σημειωματάριο περιλαμβάνει 146 εγγραφές, από το 1796 έως το 1814. Πολλές αποτελούνται από μία μόνο λατινική φράση, έναν τύπο ή έναν κρυπτογραφικό συνδυασμό γραμμάτων. Δεν περιέχουν αποδείξεις ούτε αναλυτικούς υπολογισμούς.
«ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ»
Στις 10 Ιουλίου 1796 ο συνήθως συγκρατημένος Gauss επέτρεψε στον εαυτό του μια κραυγή θριάμβου, γραμμένη στα ελληνικά:
Το σύμβολο \(\Delta\) παριστάνει έναν τριγωνικό αριθμό. Ο \(n\)-οστός τριγωνικός αριθμός είναι
Οι πρώτοι τριγωνικοί αριθμοί είναι
Ονομάζονται έτσι επειδή μπορούν να παρασταθούν με κουκκίδες τοποθετημένες σε ισόπλευρο τριγωνικό σχηματισμό.
Το θεώρημα «ΕΥΡΗΚΑ»
Η εγγραφή σημαίνει ότι κάθε μη αρνητικός ακέραιος είναι άθροισμα τριών τριγωνικών αριθμών:
Επειδή επιτρέπεται ο \(T_0=0\), μπορούμε ισοδύναμα να πούμε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι άθροισμα το πολύ τριών τριγωνικών αριθμών.
| Αριθμός | Γραφή με τριγωνικούς αριθμούς |
|---|---|
| 8 | \(8=6+1+1\) |
| 17 | \(17=10+6+1\) |
| 20 | \(20=10+10+0\) |
| 100 | \(100=45+55+0\) |
Το αποτέλεσμα αποτελεί την τριγωνική περίπτωση του θεωρήματος των πολυγωνικών αριθμών που είχε εικάσει ο Fermat. Συνδέεται όμορφα με το θεώρημα των τριών τετραγώνων, επειδή
Έτσι η πρόταση για τους τριγωνικούς αριθμούς ισοδυναμεί με το ότι κάθε αριθμός της μορφής \(8N+3\) γράφεται ως άθροισμα τριών περιττών τετραγώνων.
«Vicimus GEGAN» — ένα μυστήριο που άρχισε να λύνεται
Στις 21 Οκτωβρίου 1796 —και όχι στις 11 Οκτωβρίου, όπως αναπαράχθηκε σε ορισμένα βιβλία— ο Gauss έγραψε:
Το λατινικό vicimus σημαίνει «νικήσαμε» ή «κατακτήσαμε». Για δεκαετίες, όμως, κανείς δεν γνώριζε τι ήταν το «GEGAN».
Ο ιστορικός Kurt‑R. Biermann πρότεινε ότι η λέξη πρέπει να διαβαστεί ανάποδα, ως NAGEG, και ότι τα γράμματα αποτελούν συντομογραφία σχετική με τον αριθμητικογεωμετρικό μέσο — τον γνωστό AGM του Gauss — και τη σύνδεσή του με τις ελλειπτικές και λημνισκατικές συναρτήσεις.
Δεν γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα πώς αναπτύσσεται κάθε γράμμα της συντομογραφίας ούτε ποιο ακριβώς θεώρημα είχε κατακτήσει εκείνη την ημέρα. Ωστόσο, δεν είναι πλέον ακριβές να λέμε ότι το νόημα της εγγραφής έχει «χαθεί εντελώς».
Και τι ήταν το «REV. GALEN»;
Μια άλλη ιστορία συνδέει την εγγραφή της 8ης Απριλίου 1799 με τις λέξεις REV. GALEN μέσα σε πλαίσιο. Η εικόνα αυτή έγινε γνωστή από μεταγενέστερες αφηγήσεις, αλλά χρειάζεται προσοχή: η φράση δεν βρίσκεται στην ίδια τη σελίδα του ημερολογίου.
Σύμφωνα με την επιστημονική έκδοση των έργων του Gauss, το «REV. GALEN» προέρχεται από διαφορετικό σημείωμα και παρουσιάστηκε από τους επιμελητές στον σχολιασμό της συγκεκριμένης ημερολογιακής εγγραφής. Το «REV.» πιθανότατα παραπέμπει στην εντολή revolve —«διάβασέ το ανάποδα»— όπως και στην περίπτωση GEGAN/NAGEG. Η ακριβής αποκρυπτογράφηση του GALEN παραμένει πιο αβέβαιη.
Γιατί ο Gauss έγραφε τόσο αινιγματικά;
Το σημειωματάριο δεν ήταν εργαστήριο υπολογισμών ούτε κείμενο προορισμένο για αναγνώστες. Ήταν ένα ιδιωτικό, χρονολογημένο αρχείο προτεραιότητας: «αυτό το γνώριζα εκείνη την ημέρα».
Η στάση αυτή συμφωνούσε με το επιστημονικό του σύνθημα pauca sed matura — «λίγα, αλλά ώριμα». Ο Gauss δημοσίευε μόνο όταν θεωρούσε ένα αποτέλεσμα ολοκληρωμένο. Το τίμημα ήταν ότι αρκετές ανακαλύψεις του έμειναν για χρόνια άγνωστες και ορισμένες ιδέες του έγιναν κατανοητές μόνο μετά τον θάνατό του.
Το περίφημο τηλεγράφημα του Dirichlet
Στο ίδιο πνεύμα λακωνικής επικοινωνίας αναφέρεται συχνά μια ιστορία για τον Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ο οποίος είχε παντρευτεί τη Rebecka Mendelssohn, αδελφή του συνθέτη Felix Mendelssohn.
Ο Dirichlet φημιζόταν για την αποστροφή του προς την αλληλογραφία. Όταν γεννήθηκε το πρώτο τους παιδί, λέγεται ότι ενημέρωσε τον πεθερό του με το απολύτως λιτό τηλεγράφημα:
Η διήγηση πρέπει να αντιμετωπίζεται ως ιστορικό ανέκδοτο, όχι ως μαθηματικό τεκμήριο. Είναι όμως δύσκολο να φανταστούμε πιο σύντομη ανακοίνωση γέννησης από έναν θεωρητικό των αριθμών.
Πηγές: Ψηφιοποιημένο ημερολόγιο του Gauss — Göttingen · MathOverflow — Ιστορικός έλεγχος των GEGAN και GALEN · Η ερμηνεία του Biermann και το χειρόγραφο του 1997 · Chapman University — Gauss και το θεώρημα ΕΥΡΗΚΑ · MacTutor — Βιογραφία του Dirichlet
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου