🖌️ Δύο Απρόσμενες Ταυτότητες του Gosper για το π

Ο Αμερικανός μαθηματικός και πρωτοπόρος των υπολογιστών William Gosper είναι γνωστός για την ικανότητά του να ανακαλύπτει απρόσμενες κλειστές μορφές, αλγορίθμους και αριθμητικές ταυτότητες. Δύο ιδιαίτερα κομψές σχέσεις συνδέουν το \(\pi\) με ένα γινόμενο αντίστροφων εφαπτομένων και με μια σειρά παραγοντικών.

1. Ένα γινόμενο με αντίστροφες εφαπτομένες

\[\boxed{\lim_{n\to\infty}\prod_{i=n}^{2n}\frac{\pi}{2\arctan i}=4^{1/\pi}}.\]

Προσοχή στη γραφή: το \(\tan^{-1}i\) σημαίνει \(\arctan(i)\), όχι \(\arctan(1/i)\).

Καθώς το \(i\) μεγαλώνει, η \(\arctan i\) πλησιάζει το \(\pi/2\), επομένως κάθε παράγοντας του γινομένου πλησιάζει το \(1\). Ωστόσο, το πλήθος των παραγόντων αυξάνεται μαζί με το \(n\), και το συνολικό αποτέλεσμα δεν τείνει στο \(1\), αλλά στον αριθμό

\[4^{1/\pi}\approx1{,}5546822754821.\]

\(n\)	Μερικό γινόμενο
5	1,7526632070
10	1,6491586052
50	1,5728574614
100	1,5637251671
1000	1,5555825495

Γιατί το όριο είναι \(4^{1/\pi}\);

Για μεγάλο \(i\), έχουμε την ανάπτυξη

\[\arctan i=\frac{\pi}{2}-\frac1i+O\!\left(\frac1{i^3}\right).\]

Άρα

\[\log\!\left(\frac{\pi}{2\arctan i}\right)=\frac{2}{\pi i}+O\!\left(\frac1{i^2}\right).\]

Λογαριθμίζοντας το γινόμενο και αθροίζοντας από \(n\) έως \(2n\), παίρνουμε

\[\log L_n=\frac2\pi\sum_{i=n}^{2n}\frac1i+O\!\left(\frac1n\right).\]

Επειδή \(\sum_{i=n}^{2n}1/i\to\log2\), καταλήγουμε

\[\log L_n\to\frac{2\log2}{\pi}=\frac{\log4}{\pi},\]

και επομένως \(L_n\to e^{\log4/\pi}=4^{1/\pi}\).

2. Μια σειρά από παραγοντικά

\[\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac43+\frac{2\pi}{9\sqrt3}}.\]

Η σχέση είναι ακριβής ταυτότητα, όχι απλώς αριθμητική προσέγγιση.

Επειδή

\[\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac1{\binom{2n}{n}},\]

η σειρά είναι το άθροισμα των αντιστρόφων των κεντρικών διωνυμικών συντελεστών:

\[1+\frac12+\frac16+\frac1{20}+\frac1{70}+\cdots=1{,}7363998587\ldots\]

Λύνοντας την ταυτότητα ως προς \(\pi\), παίρνουμε επίσης έναν ακριβή τύπο:

\[\pi=\frac{9\sqrt3}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}-\frac43\right).\]

Μια σύντομη απόδειξη με ολοκλήρωμα

Από το ολοκλήρωμα Beta προκύπτει

\[\frac{(n!)^2}{(2n)!}=(2n+1)\int_0^1[t(1-t)]^n\,dt.\]

Αθροίζοντας για όλα τα \(n\ge0\) και χρησιμοποιώντας

\[\sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n=\frac{1+x}{(1-x)^2},\]

παίρνουμε

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\int_0^1\frac{1+t-t^2}{(1-t+t^2)^2}\,dt.\]

Η άμεση ολοκλήρωση της ρητής συνάρτησης δίνει

\[\frac43+\frac{2\pi}{9\sqrt3}.\]

Δύο διαφορετικοί δρόμοι προς το \(\pi\):
ο πρώτος περνά από αντίστροφες εφαπτομένες και αρμονικά αθροίσματα· ο δεύτερος από παραγοντικά, διωνυμικούς συντελεστές και το ολοκλήρωμα Beta.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →