🔄 Τα Θεωρήματα του Guldin – Όγκος και Επιφάνεια ενός Στερεού Περιστροφής

🔄 Τα Θεωρήματα του Guldin σε Δράση

Θεωρούμε το τρίγωνο \(ABC\) με κορυφές

\[ A(1,1),\qquad B(8,25),\qquad C(17,13). \]

Περιστρέφουμε ολόκληρο το τρίγωνο γύρω από τον άξονα \(y\). Με την περιστροφή δημιουργείται ένα στερεό εκ περιστροφής.

Ποιος είναι ο όγκος και ποιο το εμβαδόν της επιφάνειας του στερεού;

Το πρόβλημα μπορεί βέβαια να αντιμετωπιστεί με ολοκληρώματα. Υπάρχει όμως ένας πολύ πιο κομψός δρόμος: τα δύο θεωρήματα του Pappus–Guldinus (Guldin), που συνδέουν τα κέντρα βάρους με τα στερεά και τις επιφάνειες περιστροφής.

🔍 Δείτε τη λύση

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι

\[ S=150. \]

Η τετμημένη του κέντρου βάρους του τριγώνου είναι

\[ x_G=\frac{1+8+17}{3}=\frac{26}{3}. \]

Από το θεώρημα του Guldin για τον όγκο:

\[ V=S\cdot 2\pi x_G =150\cdot2\pi\cdot\frac{26}{3} =\boxed{2600\pi}. \]

Για την επιφάνεια χρειαζόμαστε τώρα το κέντρο βάρους της περιμέτρου του τριγώνου. Τα μήκη των πλευρών είναι

\[ AB=25,\qquad AC=20,\qquad BC=15, \]

άρα η περίμετρος είναι

\[ L=60. \]

Οι τετμημένες των μέσων των \(AB,AC,BC\) είναι αντίστοιχα

\[ \frac92,\qquad 9,\qquad \frac{25}{2}. \]

Επομένως η τετμημένη του κέντρου βάρους της περιμέτρου είναι ο σταθμισμένος μέσος

\[ x_H= \frac{ 25\cdot\frac92+ 20\cdot9+ 15\cdot\frac{25}{2} }{60} =8. \]

Το αντίστοιχο θεώρημα του Guldin δίνει

\[ A=L\cdot2\pi x_H =60\cdot2\pi\cdot8 =\boxed{960\pi}. \]

Τελικό αποτέλεσμα \[ \boxed{V=2600\pi\ \text{μονάδες}^3} \] \[ \boxed{A=960\pi\ \text{μονάδες}^2} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →